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Veranschaulichung an der Diedergruppe $ D_{5}$

Ähnlich zum letzten Beispiel können wir hier die Elemente unserer Diedergruppe durch die Fünfecke darstellen, die aus dem Ausgangsfünfeck durch Elemente dieser Diedergruppe entstanden sind. Gemäß unserer Regeln, dass hier $ d^{5}=e=s^{2}$ und $ d^{k}\circ s=s\circ
d^{-k}$, können wir nun eine Verknüpfungstafel erstellen:

$ \circ$ $ d^{0}$ $ d^{1}$ $ d^{2}$ $ d^{3}$ $ d^{4}$ $ s$ $ d^{1}\circ s$ $ d^{2}\circ s$ $ d^{3}\circ s$ $ d^{4}\circ s$
$ d^{0}$ $ d^{0}$ $ d^{1}$ $ d^{2}$ $ d^{3}$ $ d^{4}$ $ s$ $ d^{1}\circ s$ $ d^{2}\circ s$ $ d^{3}\circ s$ $ d^{4}\circ s$
$ d^{1}$ $ d^{1}$ $ d^{2}$ $ d^{3}$ $ d^{4}$ $ d^{0}$ $ d^{1}\circ s$ $ d^{2}\circ s$ $ d^{3}\circ s$ $ d^{4}\circ s$ $ s$
$ d^{2}$ $ d^{2}$ $ d^{3}$ $ d^{4}$ $ d^{0}$ $ d^{1}$ $ d^{2}\circ s$ $ d^{3}\circ s$ $ d^{4}\circ s$ $ s$ $ d^{1}\circ s$
$ d^{3}$ $ d^{3}$ $ d^{4}$ $ d^{0}$ $ d^{1}$ $ d^{2}$ $ d^{3}\circ s$ $ d^{4}\circ s$ $ s$ $ d^{1}\circ s$ $ d^{2}\circ s$
$ d^{4}$ $ d^{4}$ $ d^{0}$ $ d^{1}$ $ d^{2}$ $ d^{3}$ $ d^{4}\circ s$ $ s$ $ d^{1}\circ s$ $ d^{2}\circ s$ $ d^{3}\circ s$
$ s$ $ s$ $ d^{4}\circ s$ $ d^{3}\circ s$ $ d^{2}\circ s$ $ d^{1}\circ s$ $ d^{0}$ $ d^{4}$ $ d^{3}$ $ d^{2}$ $ d^{1}$
$ d^{1}\circ s$ $ d^{1}\circ s$ $ s$ $ d^{4}\circ s$ $ d^{3}\circ s$ $ d^{2}\circ s$ $ d^{1}$ $ d^{0}$ $ d^{4}$ $ d^{3}$ $ d^{2}$
$ d^{2}\circ s$ $ d^{2}\circ s$ $ d^{1}\circ s$ $ s$ $ d^{4}\circ s$ $ d^{3}\circ s$ $ d^{2}$ $ d^{1}$ $ d^{0}$ $ d^{4}$ $ d^{3}$
$ d^{3}\circ s$ $ d^{3}\circ s$ $ d^{2}\circ s$ $ d^{1}\circ s$ $ s$ $ d^{4}\circ s$ $ d^{3}$ $ d^{2}$ $ d^{1}$ $ d^{0}$ $ d^{4}$
$ d^{4}\circ s$ $ d^{4}\circ s$ $ d^{3}\circ s$ $ d^{2}\circ s$ $ d^{1}\circ s$ $ s$ $ d^{4}$ $ d^{3}$ $ d^{2}$ $ d^{1}$ $ d^{0}$

Wir sehen also, dass die Diedergruppe vollständig durch unsere drei Regeln festgelegt ist und (da die Gruppentafel nicht symmetrisch zur Hauptdiagonalen ist), dass die Diedergruppe $ D_{5}$ nicht abelsch ist. Dies können wir für alle $ D_{n}$ mit $ n>2$ zeigen, denn damit $ D_{n}$ abelsch ist, müsste für jedes $ d^{k}\in D_{n}$ die Gleichung $ d^{k}\circ s=s\circ d^{k}$ erfüllt sein, und mit unseren Regeln folgt nun $ d^{k}=d^{-k}$. Dies ist offensichtlich zum Beispiel für $ k=1$ nie erfüllt (-- solange $ n\geq 3$).

Nun stellen wir die Fünfecke dar, die wir durch die Drehungen unserer Diedergruppe $ D_{5}$ aus dem Ausgangsfünfeck erhalten: $ \epsfbox{pentagon.1}$ $ \epsfbox{pentagon.2}$ $ \epsfbox{pentagon.3}$
$ \epsfbox{pentagon.4}$ $ \epsfbox{pentagon.5}$

Abbildung 4.2: Die Drehungen eines regulären $ 5$-Ecks

Nun wenden wir uns den Fünfecken zu, die durch Spiegelungen (an unserer festen Achse durch den Punkt $ p_{1}$ und dem Mittelpunkt des Fünfecks) aus unserem Urfünfeck hervorgegangen sind. Dabei sind die Spiegelachsen, die wir durch die Hintereinanderausführung von Drehungen und Spiegelungen durch unsere feste Achse darstellen können, gestrichelt eingezeichnet. $ \epsfbox{pentagon.6}$ $ \epsfbox{pentagon.7}$ $ \epsfbox{pentagon.8}$
$ \epsfbox{pentagon.9}$ $ \epsfbox{pentagon.10}$

Abbildung 4.3: Die Spiegelungen eines regulären $ 5$-Ecks

Da wir unsere Gruppenelemente ja auch als Vertauschung der Eckpunkte ansehen können, können wir unsere Gruppenelemente nun als Permutationen schreiben: $ e:$ $ \left(\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
1 & 2 & 3 & 4 & 5
\end{array}\right)$, $ d:$ $ \left(\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
5 & 1 & 2 & 3 & 4
\end{array}\right)$, $ d^{2}:$ $ \left(\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
4 & 5 & 1 & 2 & 3
\end{array}\right)$, $ d^{3}:$ $ \left(\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
3 & 4 & 5 & 1 & 2
\end{array}\right)$, $ d^{4}:$ $ \left(\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
2 & 3 & 4 & 5 & 1
\end{array}\right)$,

$ s: \left(\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
1 & 5 & 4 & 3 & 2
\par\end{array}\right)$, $ d\circ s:$ $ \left(\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
2 & 1 & 5 & 4 & 3
\par\end{array}\right)$, $ d^{2}\circ s:$ $ \left(\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
3 & 2 & 1 & 5 & 4
\par\end{array}\right)$, $ d^{3}\circ s:$ $ \left(\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
4 & 3 & 2 & 1 & 5
\par\end{array}\right)$, $ d^{4}\circ s:$ $ \left(\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
5 & 4 & 3 & 2 & 1
\par\end{array}\right)$

Wie wir erkennen können, gilt auch hier, wenn wir die Permutation, die der Drehung entspricht mit $ R$ und die, die der Spiegelung entspricht mit $ M$ bezeichnen, $ R^{5}=e=M^{2}$. Wir wollen für die Komposition von Permutationen das Zeichen ,,$ \cdot$`` wählen.

Wenn wir nun noch zeigen können, dass $ R^{k}\cdot M=M\cdot R^{-k}$, haben wir alle unsere Gesetze, die unsere Diedergruppe festlegen, auch für unsere Permutationsgruppe gezeigt.

Wir könnten dies nun für alle möglichen $ k$ einzeln nachweisen, können es jedoch auch induktiv zeigen:

  1. Induktionsanfang
    Für $ k=1$ ist unsere Vermutung erfüllt:

    $ M\cdot R^{-1}=\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
1 & 5 & 4 & 3 &...
...ay}{ccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
2 & 1 & 5 & 4 & 3
\end{array}\right)=R\cdot M$

  2. Induktionsschritt
    Wir gehen nun davon aus, dass unsere Vermutung bereits für ein bestimmtes $ k=n$ erfüllt ist und versuchen, aus dieser Tatsache allgemein abzuleiten, dass sie dann auch für $ k=n+1$ erfüllt ist.
    $ R^{n+1}\cdot M= R\cdot R^{n}\cdot M= R\cdot M\cdot R^{-n}=M\cdot R^{-1}\cdot
R^{-n}=M\cdot R{-(n+1)}$. Dabei haben wir allerdings im vorletzten Schritt auch noch unseren Induktionsanfang verwendet. Aus der Tatsache, dass unsere Vermutung für $ k=1$ gilt, können wir nun mit Hilfe unseres Induktionsschritts folgern, dass sie dann auch für $ k=1+1=2$ gelten muss, aus dieser Tatsache dann wiederum die Gültigkeit für $ k=3$ folgern und so fort.
Das Prinzip der vollständigen Induktion ist in der Mathematik sehr verbreitet und findet vor allem Anwendung, wenn man eine Vermutung für alle natürlichen Zahlen (über dem Induktionsanfang) zeigen will, in unserem Beispiel hat es uns aber nur drei oder vier Rechnungen erspart, da wir für $ k\geq 5$ mit Hilfe der ersten Regel wieder zu $ k<5$ kommen würden.

Die Tatsache, dass wir eine Permutationsgruppe finden konnten, die sich genauso verhält wie unsere Diedergruppe ist kein Zufall; in der Gruppentheorie existiert der Satz von Cayley ([2] S.36), der uns garantiert, dass zu jeder endlichen Gruppe ein Isomorphismus zu einer Permutationsgruppe existiert.

Definition 10   Ein Isomorphismus von einer Gruppe $ G$ auf eine Gruppe $ G^{\prime}$ ist eine Art ,,Wörterbuch``([1] S.95), eine Abbildung $ \Phi$, die folgende Eigenschaften (vgl. [4] S.2) zu erfüllen hat:
  1. Für $ a\neq b$ gilt $ \Phi (a) \neq\Phi (b)$ (mit $ a,b\in
G$).
  2. Für jedes Element aus $ G^{\prime}$ gibt es ein $ a\in G$, so dass sich dieses Element in der Form $ \Phi (a)$ schreiben lässt.
  3. $ \Phi$ erhält uns Produkte:

    $\displaystyle \Phi(ab)=\Phi(a)\Phi(b)$

Anschaulich ist ein Isomorphismus eine Abbildung, die die Struktur unserer Gruppentafel unverändert lässt; zwei zueinander isomorphe Gruppen unterscheiden sich nur in ihren Bezeichnungen.

In unserem Fall haben wir als Elemente von $ D_{5}$, wie wir der Verknüpfungstafel entnehmen können, nur solche der Form $ d^{x}\circ s^{y}$ mit $ x\in \{0,1,2,3,4,5\}$ und $ y\in \{0,1\}$. Wir haben nun ein $ \Phi$ gefunden, dass ein solches Element auf $ R^{x}\cdot M^{y}$ abbildet.

Für zwei verschiedene Elemente $ a,b$ aus $ D_{5}$ folgt hier offensichtlich auch, dass $ \Phi (a) \neq\Phi (b)$. Außerdem finden wir auch für jedes $ k=R^{x}\cdot M^{y}$ aus unserer Permutationsgruppe ein Element $ a\in D_{5}$, nämlich $ a=d^{x}\circ s^{y}$ mit $ \Phi (a)= k$. Nun können wir noch sehen, dass wir für $ a,b\in D_{5}$ nach einigen Fallunterscheidungen ($ y,w$ gerade/ungerade) genau zu $ \Phi(a\circ b)=\Phi(d^{x}\circ s^{y}\circ d^{z}\circ s^{w})=\Phi(a)\cdot
\Phi(b)$ gelangen.



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