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Doppelpendel

Zuerst ein paar grundsätzliche Überlegungen:

Die Bewegung des zweiten Körpers wird offensichtlicherweise von der des ersten beeinflusst, d.h. wir müssen die Koordinaten $ x_2$ und $ y_2$ in Abhängigkeit von $ x_1$ und $ y_1$ aufstellen. Für $ x_1$ und $ y_1$ gilt in Polarkoordinaten (wir wählen die Koordinate $ \phi_1$ ):

$\displaystyle \begin{eqnarray}x_{1} &=& \phantom{-} l_{1} \phi_{1}, \\ h &=& l_{1}\cos \phi_{1}. \end{eqnarray}$ (28a)

Die anderen beiden Koordinaten sind in kartesischen Koordinaten:
$\displaystyle \begin{eqnarray}x_2 &=& l_1\sin\phi_1+l_2\sin\phi_2, \\ y_2 &=& l_1\cos\phi_1+l_2\cos\phi_2. \end{eqnarray}$ (29a)

Abbildung 2.6: Doppelpendel
\begin{figure}\begin{displaymath}\epsfbox{doppelpendel.1}\end{displaymath}
\end{figure}
Analog zum Fadenpendel erhalten wir für die potentielle (1.8b) und kinetische (1.7) Energie des ersten Massenpunktes, wobei noch zu beachten ist, dass es notwendig ist, die Summe der Massen zu verwenden:
$\displaystyle \begin{eqnarray}T_1 &=& \frac{m_1}{2}\dot{x}^2_1 = \frac{m_1}{2}l...
...i}^2_1\\ [.3cm] U_1 &=& -(m_1+m_2)gh = -(m_1+m_2)gl_1\cos\phi_1. \end{eqnarray}$ (30a)

Da die Koordinaten des zweiten Massenpunktes in kartesischen Koordinaten angegeben sind, ist es erforderlich, die Geschwindigkeit in $ x$ - und $ y$ -Richtung zu beachten.
$\displaystyle T_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{m_2}{2}\Big(\dot{x}_2^2+\dot{y}^2_2\Big)=$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{m_2}{2}\Big(\dot{\phi}_1^2 l_1^2\cos^2\phi_1+ \dot{\phi}_2^...
...s^2\phi_2+ \dot{\phi}_1^2 l_1^2\sin^2\phi_1 +\dot{\phi}_2^2
l_2^2\sin^2\phi_2+$  
  $\displaystyle \phantom{=}$ $\displaystyle +\,\dot{\phi}_2^2 l_2^2\cos^2\phi_2+\underbrace{2\dot{\phi}_1\dot...
...hi_1\,\sin\phi_2}_{2\dot{\phi}_1\dot{\phi}_2 l_1 l_2\cos(\phi_1
-\phi_2)}\Big)=$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{m_2}{2}\Big[\dot{\phi}_1^2 l_1^2\cos^2\phi_1+\dot{\phi}_2^2...
...\cos^2\phi_2+\dot{\phi}_1^2 l_1^2\sin^2\phi_1+\dot{\phi}_2^2
l_2^2\sin^2\phi_2+$  
  $\displaystyle \phantom{=}$ $\displaystyle +\,2\dot{\phi}_1\dot{\phi}_2 l_1 l_2\cos(\phi_1 -
\phi_2)\Big]$  

In diesem Ausdruck lassen sich jeweils die Faktoren vor den quadratischen Winkelfunktionen ausklammern. Durch Anwenden der Beziehung $ \sin^2 x+\cos^2 x = 1$ fallen sämtliche quadratische Winkelfunktionen weg.
$\displaystyle \begin{eqnarray}T_2 &=& \frac{m_2}{2}\Big[\dot{\phi}_1^2 l_1^2\bi...
...nalog zu der des ersten: \begin{eqnarray}U_2 = m_2 gl_2\cos\phi_2\end{eqnarray}$    

Anhand der Gleichungen 2.20a, 2.20b, 2.21a und 2.21b können wir jetzt die Lagrangefunktion aufstellen:
$\displaystyle L$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \big(T_1+T_2\big) - \big(U_1+U_2\big) =$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \bigg(\frac{m_1}{2}l^2\dot{\phi}^2_1\,+\,\frac{m_2}{2}\Big[\dot{\...
...hi}_2^2 l_2^2 +2\dot{\phi}_1\dot{\phi}_2 l_1 l_2
\cos(\phi_1-\phi_2)\Big]\bigg)$  
    $\displaystyle -\,\Big(-(m_1+m_2)gl_1\cos\phi_1\,-\,m_2 gl_2\cos\phi_2\Big) =$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{m_1+m_2}{2}\dot{\phi}_1^2 l_1^2 + \frac{m_2}{2}\dot{\phi}_2^2
l_2^2 + m_2\dot{\phi}_1\dot{\phi}_2 l_1
l_2\cos(\phi_1-\phi_2)$  
    $\displaystyle +\,(m_1+m_2)gl_1\cos\phi_1+m_2 gl_2\cos\phi_2$  

Da es hierbei zwei unabhängige Koordinaten gibt, $ \phi_1$ und $ \phi_2$ , müssen wir laut 1.10 nach beiden differenziern. Gleichung 1:
$\displaystyle \begin{eqnarray}\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}...
...\phi_1)\,\ddot{\phi}_1+\sin(\phi_2-\phi_1)\,\dot{\phi}_1^2\Big)=0\end{equation}$    

Um die beiden Differentialgleichungen zu vereinfachen setzen wir $ m_1=m_2=m$ , $ l_1=l_2=l$ , $ \cos\phi\approx 1$ , $ \sin\phi\approx\phi$ und $ \dot{\phi}^2\phi\approx
0$ :
  Gleichung 1: $\displaystyle \quad 2\ddot{\phi}_1+\ddot{\phi}_2+2\frac{g}{l}\phi_1
=0$ (33)
  Gleichung 2: $\displaystyle \quad \ddot{\phi}_1+\ddot{\phi}_2+\frac{g}{l}\phi_2 =
0$ (34)

Laut [4], S.431 lauten die Lösungen für die beiden Differentialgleichungen folgendermaßen:
$\displaystyle \phi_1(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \phantom{-\sqrt{2}}\big(ae^{i\omega_1 t}+be^{-i\omega_1 t}\big)+\phantom{\sqrt{2}}\big(ce^{i\omega_2
t}+de^{-i\omega_2 t}\big)$ (35)
$\displaystyle \phi_2(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sqrt{2}\big(ae^{i\omega_1 t}+be^{-i\omega_1
t}\big)+\sqrt{2}\big(ce^{i\omega_2t}+de^{-i\omega_2 t}\big)$ (36)

mit

$\displaystyle a = -b =\frac{\dot{\phi}_0}{4i\omega_1},$

$\displaystyle c = -d =\frac{\dot{\phi}_0}{4i\omega_2}.$

(vgl. [4], S.36, 430, 431 und [5], S.13)




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Hendrik van Hees 2010-04-29