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Energie-Zeitunschärfe

Aufgrund der Sonderstellung, den die Zeit in der Physik besitzt, muß die quantentheoretische Unschärfe, die die genaue Lokalisierung eines Ereignisses in der Zeit verhindert, speziell behandelt werden.

Betrachten wir den Sachverhalt zunächst physikalisch. In der Newtonschen Mechanik kann man die Zeit in einem gegebenen Inertialsystem dadurch messen, daß man einen Probekörper frei laufen läßt. Nach dem Newtonschen Axiom hat er dann eine konstante Geschwindigkeit und bewegt sich geradlinig, so daß man die Zeitdauer, mit der der Körper eine bestimmte Strecke durchläuft als Zeiteinheit definieren kann.

In der Praxis muß man natürlich eine immer und überall realisierbare Geschwindigkeit besitzen, und dabei hilft uns nun die Relativitätstheorie: Mit dem Licht haben wir ein physikalisches Phänomen, das sich im Vakuum unabhängig von der Bewegung der Lichtquelle immer mit der gleichen Geschwindigkeit $ c$ bewegt und dadurch die Zeitmessung absolut auf eine Längenmessung reduzieren läßt. Dies findet man im Detail in Einsteins berühmtem Artikel zur Relativitätstheorie [Ein05] beschrieben.

Im Internationalen Einheitensystem (SI) geht man aus meßtechnischen Gründen anders vor. Hier wird die Zeiteinheit Sekunde als Basiseinheit durch den folgenden ,,Gesetzestext'' definiert:

Die Sekunde ist das 9 192 631 770-fache der Periodendauer der dem Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes von Atomen des Nuklids $ ^133$Cs entsprechenden Strahlung.

Eine Atomuhr wird nun dadurch realisiert, daß Cäsiumdampf in einen Hohlraumresonator gebracht wird, wobei mittels einer Stern-Gerlachapparatur nur diejenigen Atome aus einem Ofen aussortiert werden, die sich in einem bestimmten der beiden Grundzustandsniveaus befinden. Diese Cäsiumatome werden durch Einstrahlung von Mikrowellen dazu gebracht, den Hyperfeinübergang auszuführen. Danach können die Atome, die den Zustand gewechselt haben, wieder aussortiert werden. Je nach Frequenz der eingestrahlten Mikrowellenstrahlung sind das verschieden viele. Diese Zahl nimmt aber bei der Übergangsfrequenz der Hyperfeinstrukturniveaus (Energiedifferenz zwischen beiden Zuständen $ /\hbar$) ein Maximum an. Dadurch kann die Frequenz des Mikrowellensenders sehr genau auf diese Übergangsfrequenz, die durch den Gesetzestext des SI auf 9 192 631 770 $ 1/s$ festgelegt ist. Man muß also jetzt nur noch diese Zahl Schwingungen des Mikrowellensenders abzählen und hat dadurch die Zeiteinheit Sekunde realisiert.

Auch diese Zeit weist noch eine prinzipielle minimale Ungenauigkeit (die freilich durch den Meßfehler noch übertroffen wird) aufgrund der Quantentheorie auf: Der atomare Übergang weist nämlich seinerseits eine Unschärfe auf. Aufgrund der Quantenelektrodynamik existieren nämlich auch im Vakuum Quantenfluktuationen, die oft auch als virtuelle Teilchen bezeichnet werden. Darauf kommen wir weiter unten nochmals ausführlich zu sprechen. Das angeregte Atom wird durch diese ,,Wechselwirkung mit dem virtuellen Strahlungsfeld'' also selbst, wenn es allein im absoluten Vakuum gehalten würde, unter Aussendung eines Photons in den Grundzustand wechseln. Dieses Phänomen bezeichnet man als spontane Emission, deren quantentheoretische Erklärung in dem eben angedeuteten Sinne von Dirac stammt. Die Frequenz dieses Photons entspricht nun der Energiedifferenz der Niveaus, aber eben nur mit einer durch den statistischen Charakters der Quantenfluktuationen bedingten Unsicherheit: Die Spektrallinie weist also eine Breite auf, die man in diesem Zusammenhang als ,,natürliche Linienbreite'' bezeichnet.

Zu dieser quantentheoretischen nie zu unterbietenden Unsicherheit kommen natürlich noch weitere hinzu, wie z.B. die Dopplerverbreiterung, die sich daraus ergibt, daß sich die Atome im Hohlraum in einer thermischen (also stochastischen) Bewegung befinden, und diese Bewegung eine Dopplerverschiebung der Spektrallinien bewirkt. Um diese Unsicherheit wollen wir uns aber im Sinne eines idealisierten Gedankenexperiments nicht kümmern.

Kommen wir zur Erklärung der prinzipiellen Energie-Zeitunschärfe aber zunächst einmal auf das einfache Gedankenexperiment zurück, bei der die Zeit durch ein in einem Inertialsystem sich frei bewegenden Teilchen über eine Ortsmessung definiert ist. Ein freies Teilchen besitzt aber eine Ortsunschärfe, die sogar mit der Zeit noch zunimmt (vgl. die diesbezügliche Rechnung in Grundlagen der Quantentheorie).

Das bedeutet, daß die Abschnitte, die man zur Definition der Zeiteinheit benutzt nicht genauer als durch die Unschärferelation definiert werden können. Dies läßt sich sehr leicht mit Hilfe der allgemeinen Unschärferelation (5) zeigen. Dazu bilden wir die Unschärferelation für den Hamiltonoperator und den Ortsoperator:

$\displaystyle \Delta x \Delta E \geq \frac{1}{2} \vert-\ii \erw{\comm{\op{x}}{\op{H}}}\vert.$ (13)

Der unter dem Erwartungswert stehende Operator ist aber die quantenmechanische Zeitableitung des Ortsoperators, also der Geschwindigkeitsoperator, und der Erwartungswert ist nach dem Ehrenfestschen Theorem (vgl. Grundlagen der Quantentheorie) bis auf einen Faktor $ \hbar$ gerade die Ableitung des Ortserwartungswertes nach der Zeit. Im Bild der Einteilchenwellenmechanik entspricht dies für freie Teilchen (also bei Abwesenheit von anomaler Dispersion) der Gruppengeschwindigkeit der Welle. Die so definierte Geschwindigkeit bezeichnen wir mit $ v$, und dann liest sich die Unschärferelation (13):

$\displaystyle \Delta t \Delta E \geq \frac{\hbar}{2}.$ (14)

Dabei ist $ \Delta t=\Delta x/\vert v\vert$. Im Einteilchenwellenbild ist das gerade die Zeit, die der Schwerpunkt der Welle (Gruppengeschwindigkeit!) benötigt, um die Ortsunschärfe zu durchlaufen, und die Ortsunschärfe gibt ja ein Maß dafür an, mit welcher Genauigkeit für eine Ortsmessung ich zu rechnen habe. Definieren wir also die Zeit über die Geschwindigkeit freier Teilchen in einem Inertialsystem gelangen wir mit (14) zwangsläufig zu der obigen Energie-Zeit-Unschärferelation. Sie ist aber eine Folgerung aus der Ortsunschärferelation aufgrund der Tatsache, daß die Zeit lediglich ein Parameter, der die Kausalfolge von Ereignissen bezeichnet, und keine Observable per se ist. Sie läßt sich daher immer nur indirekt über observable Größen bestimmen, in unserem Fall durch die Abmessung von zurückgelegten Wegstrecken eines freien Teilchens im Inertialsystem (oder bei der internationalen Definition der Sekunde durch das Abzählen von Schwingungen eines Mikrowellensenders).



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