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Äquivalenz zur Quantenmechanik

Um die Äquivalenz der Voraussagen zu denen der Quantenmechanik zu zeigen, braucht man einmal die Annahme, daß das Ergebnis jeder Messung irgendwie in Koordinaten formuliert werden kann (als Position eines Zeigers eines Meßgeräts, oder auch von Tusche auf Papier einer Arbeit, oder auch Positionen von Molekülen in Gehirnzellen). Dies scheint eine natürliche, vor allem aber durchaus klassische Vorstellung. Weiterhin braucht man eine Annahme über die Anfangsbedingungen -- das sogenannte Quantengleichgewicht.

Wenn wir annehmen, daß wir als Anfangsbedingung eine statistische Konfiguration $ \rho(q,0)$ mit der Eigenschaft $ \rho(q,0)=\vert\psi(q,0)\vert^2$ gegeben haben, dann wird aus der quantenmechanischen Kontinuitätsgleichung

$\displaystyle {\frac{\partial\vert\psi(q,t)\vert^2}{\partial t}}
+$   div$\displaystyle J^\psi(q,t) = 0 , $

wobei $ J^\psi=(J^\psi_1,\ldots,J^\psi_N)$ mit

$\displaystyle J^\psi_k = {\frac{\hbar}{m_k}} \mathrm{Im}(\psi^*\nabla_k\psi) $

den quantenmechanischen Wahrscheinlichkeitsfluß definiert (einer Gleichung, die eine einfache Folge der Schrödingergleichung ist), einfach die klassische Kontinuitätsgleichung

$\displaystyle {\frac{\partial \rho}{\partial t}} +$   div$\displaystyle   \rho v = 0 $

für das System $ dQ/dt = v$, welches durch die obige Leitgleichung definiert wird. Daraus folgt, daß, wenn die Eigenschaft $ \rho(q,t_0)=\vert\psi(q,t_0)\vert^2$ zu einem Zeitpunkt $ t_0$ erfüllt ist, dann für jeden anderen Zeitpunkt t genauso $ \rho(q,t)=\vert\psi(q,t)\vert^2$ gilt. Dieser Zustand heißt Quantengleichgewicht.

Die Frage, warum man annehmen kann, daß wir uns im Zustand des Quantengleichgewichts befinden, ist etwas komplizierter. Wichtig ist jedoch, daß wir diese Frage ruhig aufschieben können. Wir brauchen sie weder zur Definition der Theorie selbst, noch um experimentelle Voraussagen aus ihr herleiten zu können. Wir können das Quantengleichgewicht einfach als (zunächst unbegründete) Annahme über die Anfangsbedingungen einführen.



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