Bohmsche Feldtheorie

Zur Bohmisierung der Quantenfeldtheorie muß man von der Formulierung der Feldtheorie mit Hilfe des Wellenfunktionals ausgehen.

Da eine solche Formulierung (sowohl wegen ihrer Nicht-Lorentzinvarianz als auch aus eher technischen Gründen) selten gebraucht wird, sei sie kurz erklärt. In dieser Formulierung hat die Wellenfunktion $\Psi$ keineswegs auch nur irgendetwas mit der Diracfunktion $\psi(x)$ oder anderen relativistischen Wellenfunktionen zu tun, sondern ist ein Funktional $\Psi(.)$ auf dem Raum der Feldkonfigurationen - also einem Funktionenraum. Anstelle der Position eines Teilchens $Q \in \mathbb{R}^3$ oder der $N$ Positionen der $N$ Teilchen $(Q_1,\ldots,Q_N)\in \mathbb{R}^{3N}$ haben wir es mit einem unendlichdimensionalen Konfigurationsraum $Q=(\psi^k(x),A_\nu^l(x),g_{\mu\nu}(x),\ldots)\in L^2(\mathbb{R}^{\cdots})$ ($k,l$ durchläuft hier die Fermionen und Eichfelder des gerade aktuellen Standardmodells) zu tun.

Die Schrödinger-Gleichung wird hierbei zu einer Funktional-Gleichung für das Wellenfunktional $\Psi(\psi^k,A_\nu^l,g_{\mu\nu},\ldots)$. Das Wellenfunktional $\Psi(\psi^k,A_\nu^l,g_{\mu\nu})$ hat durchaus eine ganz normale Wahrscheinlichkeitsinterpretation und auch einen Wahrscheinlichkeitsfluß $J^\Psi$, der auch ein Funktional ist. Man darf hierbei keinesfalls die Wahrscheinlichkeitsinterpretation für dieses Wellenfunktional mit einer (gar nicht existierenden) Wahrscheinlichkeitsinterpretation für die Funktionen $\psi^k,A_\nu^l,g_{\mu\nu}$ verwechseln!

Die Leitgleichung wird hingegen zu einem System von partiellen Differentialgleichungen (oder eher Pseudodifferentialgleichungen) die die Evolution einer Feldkonfiguration beschreiben. Genau wie im endlichdimensionalen Fall erhält man ein Geschwindigkeitsfunktional $V^\Psi$ als $V^\Psi = J^\Psi/\Psi^*\Psi$:

$$\partial_t \psi^k(x) = \left(V^\Psi_{\psi^k}(\psi^k,A_\nu^l,g_{\mu\nu})\right)(x)$$

$$\partial_t A^l_\nu(x) = \left(V^\Psi_{ A^l_\nu}(\psi^k,A_\nu^l,g_{\mu\nu})\right)(x)$$

$$\partial_t g_{\mu\nu}(x) = \left(V^\Psi_{g_{\mu\nu}}(\psi^k,A_\nu^l,g_{\mu\nu})\right)(x)$$

Wie bereits im Falle freier Dirac-Teilchen hat auch die Bohmsche Feldtheorie ein bevorzugtes Bezugssystem, welches bereits in der Definition der Konfiguration und des Wellenfunktionals vorhanden ist.

Diese Nicht-Lorentz-Invarianz auf dem fundamentalen Level führt jedoch keineswegs dazu, daß die beobachtbaren Effekte im Quantengleichgewicht die Lorentz-Invarianz verletzen. Es geht also, wenn wir davon sprechen, daß die Bohmsche Theorie nicht Lorentz-invariant ist, nicht um Fragen der Übereinstimmung zwischen Theorie und Experiment. Die ist in jedem Fall genauso gut wie in der besten gerade verfügbaren Quantenfeldtheorie, da sie einfach auf sie aufbaut und lediglich eine Zusatzgleichung - die Leitgleichung - zu definieren hat.

Die oft zu findende Behauptung, die Bohmsche Mechanik lasse sich nicht auf den relativistischen Fall verallgemeinern, ist hingegen falsch. Sie ist lediglich nicht Lorentz-invariant verallgemeinerbar und erfüllt somit nicht relativistische Schönheitskriterien. Dies ist eine wichtige Eigenschaft der Bohmschen Theorie, die wegen Bells Theorem mit Notwendigkeit daraus folgt, daß die Theorie realistisch und klassisch kausal ist aber die Bellsche Ungleichung verletzt.