Die Maxwellgleichungen und Randbedingungen

Wir setzen im folgenden voraus, daß das Innere des Hohlleiters als Vakuum behandelt werden kann, in dem sich keinerlei Ladungen oder Magnete befinden. Dann gelten die Maxwellgleichungen in der Form

$$\partial_t \bvec{B}=-\rot \bvec{E}, \quad \rot \bvec{B}=\partial_{t} \bvec{E}, \quad \div\bvec{E}=\div\bvec{B}=0.$$ (36)

Bilden wir die Zeitableitung der zweiten und die Rotation der ersten Gleichung, finden wir zusammen mit der dritten Gleichung, daß $\bvec{E}$ der Wellengleichung genügen muß. Umgekehrt folgt durch Bildung der Zeitableitung der ersten und der Rotation der zweiten Gleichung die Wellengleichung für $\bvec{B}$ , d.h. es gilt

$$\Box \bvec{E}=\Box \bvec{B}=0$$ (37)

Nunmehr nehmen wir an, das Material unseres Hohlleiters sei ideal leitfähig. Daraus folgen die Randbedingungen an $\bvec{E}$ und $\bvec{B}$ . Zu deren Herleitung bezeichnen wir mit $\bvec{x}_{\perp}=x \hat{e}_{x} + y \hat{e}_{y}$ die Projektion des Ortsvektors $\bvec{x}$ in die ($xy$ )-Ebene. Im folgenden bedeutet ein Ausdruck der Art $\bvec{E}\vert _{\partial D}$ , daß der Ausdruck für beliebiges $z$ gilt und $\bvec{x}_{\perp} \in \partial D$ , also auf der Leitkurve des Zylinders in der durch $z$ spezifizierten Ebene senkrecht zur Zylinderachse liegt.

Es ist klar, daß bei der vorausgesetzten idealen Leitfähigkeit des Hohlleiters die Tangentialkomponenten von $\bvec{E}$ an den Zylindermantel verschwinden müssen, d.h. es gelten die Randbedingungen

$$E_{s}\vert _{\partial D}= \hat{e}_{s} \bvec{E}\vert _{\partial D}=E_{z}\vert _{\partial D}=0.$$ (38)

Wir wollen weiter die Methode der Fouriertransformation, die wir schon oben im Falle eines dispergierenden Mediums mit Erfolg angewandt haben, auch hier nutzen, d.h. es genügt zunächst Felder mit harmonischer Zeitabhängigkeit zu betrachten

$$\bvec{E}(t,\bvec{x})=\bvec{E}(\omega,\bvec{x}) \exp(-\i \omega t), \quad \bvec{B}(t,\bvec{x})=\bvec{B}(\omega,\bvec{x}) \exp(-\i \omega t).$$ (39)

Jetzt ist es auch einfacher, Randbedingungen an $\bvec{B}(\omega,\bvec{x})$ herzuleiten. Aus der ersten Gleichung (36) folgt zusammen mit $\hat{e}_s \times \hat{e}_z=\hat{e}_n$

$$-\i \omega \hat{e}_{n} \bvec{B}(\omega,\bvec{x})\vert _{\partial ... ..._z-\partial_z E_s)\vert _{\partial D}=0 \Rightarrow B_{n}\vert _{\partial D}=0,$$ (40)

denn die Tangentialkomponenten von $\bvec{E}$ sind ja gemäß (38) entlang des Zylindermantels konstant. Genauso leiten wir aus der zweiten Gleichung (36) die Randbedingung

$$\partial_n B_z\vert _{\partial D}=0$$ (41)

her.

Die Wellengleichung (37) geht für unsere harmonische Zeitabhängigkeit (39) in die Helmholtzgleichung über:

$$(\Delta + \omega^{2}) \bvec{E}(\omega,\bvec{x})=(\Delta + \omega^{2}) \bvec{B}(\omega,\bvec{x})=0 \Delta=\partial_x^2+\partial_y^{2} + \partial_z^2=\Delta_{\perp}+\partial_z^2.$$ (42)

Aufgrund der Translationssymmetrie des Problems in $z$ -Richtung können wir die Helmholtzgleichung in $\bvec{x}_{\perp}$ und $z$ separieren, d.h. wir können $\bvec{E}(\omega,\bvec{x})$ und $\bvec{B}(\omega,\bvec{x})$ als Produkt einer Funktion, die nur von $z$ und einer, die nur von $\bvec{x}_{\perp}$ abhängt, ansetzen. Diesen Ansatz in (42) eingesetzt ergibt:

$$\begin{split}\bvec{E}(\omega,\bvec{x}) &= \bvec{E}_{1}(\omega... ...}_{2}(\omega,k_z,\bvec{x}_{\perp}) \exp(-\i k_z z), \end{split}$$ (43)

wobei der erste Anteil gemäß unseres harmonischen Ansatzes (39) einer in positive, der zweite einer in negative $z$ -Richtung fortschreitenden Welle entspricht. Die Funktionen $\bvec{E}_{j}(\omega,k_z,\bvec{x}_{\perp})$ und $\bvec{B}_{j}(\omega,k_z,\bvec{x}_{\perp})$ genügen jeweils der ebenen Helmholtzgleichung:

$$(\Delta_{\perp}+\omega^{2}-k_{z}^{2}) \bvec{E}_j(\omega,k_z,\bvec... ...= (\Delta_{\perp}+\omega^{2}-k_{z}^{2}) \bvec{B}_j(\omega,k_z,\bvec{x}_{\perp})$$ (44)