Die Materialgleichungen für ein homogenes und isotropes Medium

Betrachten nunmehr die elektromagnetischen Erscheinungen in Medien, konzentrieren uns aber sogleich auf den einfachsten Fall eines homogenen und isotropen Stoffes, wobei wir von Dispersion absehen. Dies ist für unsere Zwecke vollauf gerechtfertigt, da wir uns ja mit dem Fall stationärer Ströme in metallischen (nicht ferromagnetischen) Leitern beschäftigen wollen³.

Am besten werden die elektromagnetischen Erscheinungen in Metallen verständlich, wenn wir kurz den grundlegenden Aufbau rekapitulieren: Ein Metall ist im wesentlichen ein Kristallgitter aus positiv geladenen Ionen (Atomkerne+,,Rumpfelektronen''), in welchem im Falle einer von außen anliegenden konstanten elektrischen Spannung die Leitungselektronen den stationären elektrischen Strom ausmachen. In Abwesenheit von Strömen ist der Leiter insgesamt elektrisch neutral. Daher ist für den Fall, das kein Strom fließt, $n_{Q0}=0$ .

Es sei $\vec{v}(x)$ das Geschwindigkeitsfeld der Ladungsträger im Sinne der Hydrodynamik. Um kovariante Materialgleichungen aufzustellen, ist es bequemer, mit kovarianten Größen zu arbeiten. Die Vierergeschwindigkeit wird durch

$$(u^{\mu})= \gamma \begin{pmatrix}c \vec{v} \end{pmatrix} \quad \gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\vec{v}^{ 2}/c^2}}$$ (97)

definiert. Es handelt sich dabei um die Änderung des Vierervektors pro Eigenzeitintervall des Fluidelements.

Beginnen wir mit dem Zusammenhang zwischen Strom und elektromagnetischem Feld, also der Verallgemeinerung des Ohmschen Gesetzes, das im Ruhsystem $\vec{j}_{\text{ruh}}=\sigma \vec{E}_{\text{ruh}}$ lautet. Im lokalen Ruhsystem des Mediums gilt

$$u_{\mu} j^{\mu}=n_{Q0} c^2,$$ (98)

wobei wir zunächst davon absehen wollen, daß im Falle eines gewöhnlichen Leiters $n_{Q0}=0$ ist. Da (98) eine kovariante Gleichung ist, muß sie für jedes Bezugssystem gelten. Man beachte dabei, daß die auf das Ruhevolumen bezogene Ladungsdichte $n_{Q0}$ ein Skalarfeld ist, nicht die Ladungsdichte in einem allgemeinen Bezugssystem. Diese ist, wie wir oben bei der Betrachtung der kovarianten Formulierung der Maxwellgleichungen im Vakuum gesehen haben, bis auf den Faktor $c$ identisch mit der Zeitkomponente der Viererstromdichte $j$ . Der Leitungsstrom $j_{\text{L}}^{\mu}$ muß $\propto B^{\mu \nu}$ sein, und aus einem Tensor zweiter Stufe kann man nur einen Vektor machen, indem man ihn mit einem Vektor überschiebt, und dazu steht und nur die Vierergeschwindigkeit (97) zur Verfügung. Wir haben also

$$j_{\mathrm{L}}^{\mu} = \sigma B^{\mu \nu} \frac{u_{\nu}}{c}.$$ (99)

Offenbar gilt $u_{\mu} j_{\mathrm{L}}^{\mu}=0$ , so daß wir gemäß (98) für die Gesamtstromdichte

$$j^{\mu}=n_{Q0} u^{\mu} + \sigma B^{\mu \nu} \frac{u_{\nu}}{c}$$ (100)

zu schreiben haben.

Wir setzen nun wieder, unserem Leiterproblem entsprechend $n_{Q0}=0$ . Wir wollen als nächstes zeigen, daß hier die (notwendig viererskalare) Größe $\sigma$ im Grenzfalle sehr kleiner Geschwindigkeiten $\vert\vec{v}\vert \ll c$ der Elektronen mit der Definition der Leitfähigkeit des Mediums [s. (1)] übereinstimmt. Setzen wir (97) in (99) ein, finden wir

$$j=\begin{pmatrix}c n_Q \vec{j} \end{pmatrix} =\sigma \gamma \b... ...{v}\cdot \vec{E}/c \vec{E} + \frac{\vec{v}}{c} \times \vec{B} \end{pmatrix}.$$ (101)

Multiplizieren wir die räumlichen Komponenten dieser Gleichung mit $\vec{v}$ und vergleichen mit der zeitlichen Komponente erhalten wir

$$\vec{j} \vec{v}=\sigma \gamma \vec{v} \vec{E}=c^2 n_Q.$$ (102)

Andererseits ist die Stromdichte

$$\vec{j}=n_{\text{cond}} \vec{v},$$ (103)

wobei $n_{\text{cond}}$ die auf unser Inertialsystem bezogene Dichte der Leitungselektronen ist. Wir haben also

$$n_Q=\frac{\vec{v}^{ 2}}{c^2} n_{\text{cond}}.$$ (104)

Tatsächlich ist also die Ladungsdichte im Inneren des Leiters um den Faktor $\beta^2=\vec{v}^{ 2}/c^2$ kleiner als die Leitungselektronenstromdichte und damit für gewöhnliche Ströme in metallischen Leitern, für die die Driftgeschwindigkeit in der Ordnung $10^{-3} \;$   m/s beträgt, völlig vernachlässigbar. Die nichtrelativistische Behandlung, die wir oben besprochen haben, ist also eine hervorragende Näherung.

Nun müssen wir noch die Materialgleichungen für den Zusammenhang zwischen den Erregungsgrößen $\vec{D}$ und $\vec{H}$ und den Feldstärken $\vec{E}$ und $\vec{B}$ kovariant erfassen. Wie wir sehen werden, ist selbst in dem Falle, daß das Medium weder elektrisch noch magnetisch polarisierbar ist, wenn also $\epsilon=\mu=1$ ⁴ gilt, $B_{\mu \nu}$ und $H_{\mu \nu}$ nicht übereinstimmen. Die inhomogenen Maxwellgleichungen sind dabei anstatt mit $(B^{\mu \nu})=(\vec{E},\vec{B})$ mit $(H^{\mu \nu})=(\vec{D},\vec{H})$ anzusetzen. Unsere Maxwellgleichungen in kovarianter Form haben also

$$\partial_{\mu} (\dagger B)^{\mu \nu}=0, \quad \partial_{\mu} H^{\mu \nu}= \frac{1}{c} j^{\nu}$$ (105)

zu lauten. In der Dreierformulierung ausgedrückt, heißt das

$$\rot{\vec{E}}+\frac{1}{c} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} =0$$ (106)

$$\div \vec{B} =0,$$ (107)

$$\rot \vec{H} - \frac{1}{c} \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}=\vec{j},$$ (108)

$$\div \vec{D}=n_Q.$$ (109)

Wir nehmen nun wieder den einfachsten Fall an, d.h. daß das elektromagnetische Feld so schwach ist, daß der Zusammenhang zwischen $B^{\mu \nu}$ und $H^{\mu \nu}$ linear ist. Wir benötigen dazu offenbar eine Tensorgröße $M_{\mu \nu \rho \sigma}$ , so daß

$$H_{\mu \nu} = \frac{1}{2} M_{\mu \nu \rho \sigma} B^{\rho \sigma}$$ (110)

ist. Dabei kann $M$ nur aus auf den Leiter bezogene physikalische Größen und allgemein invariante Tensorausdrücke aufgebaut sein. Dazu stehen uns wegen der vorausgesetzen Homogenität und Isotropie des Leiters ohne Stromfluß lediglich $g_{\mu \nu}$ , $u^{\mu}$ und im Prinzip auch $\epsilon_{\mu \nu \rho \sigma}$ zur Verfügung. Da aber die elektromagnetische Wechselwirkung invariant unter Raumspiegelungen ist, muß der Term mit $\propto \epsilon_{\mu \nu \rho \sigma}$ verschwinden. Wir müssen allerdings annehmen, daß $M_{\mu \nu \rho \sigma}$ beim Vertauschen seiner ersten beiden Indizes das Vorzeichen wechselt, da $H_{\mu \nu}$ ein antisymmetrischer Tensor ist. $M_{\mu \nu \rho \sigma}$ kann auch antisymmetrisch der Indizes $\rho,\sigma$ gewählt werden, da ja auch $B^{\rho \sigma}$ ein antisymmetrischer Tensor ist. Demnach muß $M_{\mu \nu \rho \sigma}$ von der Form

$$M_{\mu \nu \rho \sigma}= C_1 (g_{\mu \rho} g_{\nu \sigma} - g_{\n... ..._{\sigma} - g_{\mu \sigma} u_{\nu} u_{\rho} + g_{\nu \sigma} u_{\mu} u_{\rho} )$$ (111)

sein. Die Skalare $C_1$ und $C_2$ müssen dabei durch $\epsilon$ und $\mu$ ausgedrückt werden können. Dazu setzen wir (111) in (110) ein und vergleichen im Limes $\vert\vec{v}\vert/c \rightarrow 0$ mit den nichtrelativistischen Materialgleichungen $\vec{D}=\epsilon \vec{E}$ , $\vec{B}=\mu \vec{H}$ . Führt man die Doppelsumme (110) aus, findet man durch Vergleich der Komponenten auf beiden Seiten die Beziehungen

$$\begin{split}\vec{D} &= (C_1+\gamma^2 C_2) \vec{E} + \gamma^2... ...ec{v} \cdot \vec{B}}{c} \frac{\vec{v}}{c} \right ). \end{split}$$ (112)

Entwickeln wir dies bis zur ersten Ordnung nach $\vert\vec{v}/c\vert$ , ergibt sich

$$\vec{D}=(C_1+C_2) \vec{E} + C_2 \frac{\vec{v}}{c} \times \vec{B}+... ...=C_1 \vec{B} + C_2 \frac{\vec{v}}{c} \times \vec{E}+\mathcal{O}(\vec{v}^2/c^2).$$ (113)

Vernachlässigen wir hierin auch noch die führenden relativistischen Korrekturen zur Ordnung $\mathcal{O}(\vert\vec{v}\vert/c)$ , finden wir durch Vergleich mit den nichtrelativistischen Materialgleichungen

$$C_1+C_2=\epsilon, \quad C_1=\frac{1}{\mu} \; \rightarrow \; C_2=\epsilon-\frac{1}{\mu}.$$ (114)

Die Gleichungen (112) sind recht kompliziert, aber auch in dieser Form nicht notwendig, denn wir benötigen im Grunde nur Gleichungen, die $\vec{D}$ und $\vec{H}$ eindeutig durch $\vec{E}$ und $\vec{B}$ ausdrücken. Dies ist zwar durch (112) bereits in gelöster Form ausgeschrieben, aber diese Beziehungen lassen sich durch einfachere Gleichungen erfassen. Dazu bemerken wir, daß der Materialtensor (111) einfache Eigenschaften hinsichtlich der Vierergeschwindigkeit $u^{\mu}$ besitzt. Zunächst gilt

$$M^{\mu \nu \rho \sigma} u_{\nu}=\epsilon (g^{\mu \rho} u^{\sigma}-g^{\mu \sigma} u^{\rho}).$$ (115)

Das bedeutet aber wegen (110)

$$H^{\mu \nu} u_{\nu} = \epsilon B^{\mu \nu} u_{\nu}.$$ (116)

Dividiert man hier noch beide Seiten durch $u_0/c=\gamma$ , erhält man in dreidimensionaler Form

$$\vec{D}+\frac{\vec{v}}{c} \times \vec{H}=\epsilon \left ( \vec{E}+\frac{\vec{v}}{c} \times \vec{B} \right ).$$ (117)

Die Gleichung für $\mu=0$ ist übrigens redunandant, denn sie lautet

$$\vec{v} \cdot \vec{D}=\epsilon \vec{v} \cdot \vec{E},$$ (118)

und diese Gleichung folgt sofort aus (117) durch skalare Multiplikation mit $\vec{v}$ . Die Gleichung (116) erhält man übrigens einfacher, indem man die Gleichung an dem gegebenen Raumzeitpunkt, in dem Bezugssystem betrachtet, in dem dort $\vec{v}=0$ ist. In diesem Bezugssystem gilt nämlich $\vec{D}=\epsilon \vec{E}$ . Da in diesem Falle $u=(c,0,0,0)^t$ ist, kann man sie sofort kovariant in der Form (116) ausdrücken. Da dies eine Tensorgleichung ist, gilt sie aber in jedem Bezugssystem.

Die entsprechende Beziehung für den Zusammenhang zwischen magnetischer Feldstärke und Erregung können wir herleiten, indem wir (110) mit Hilfe des Levi-Civita-Symbols in eine Tensorgleichung für den dualen Erregungstensor überführen. Dieser Aufwand ist aber unnötig, und wir können gleich unser einfacheres Kovarianzargument anwenden. Im lokalen Ruhsystem der Fluidzelle am gerade betrachteten Raumzeitpunkt lautet die Materialgleichung ja $\vec{H}=\mu \vec{B}$ , und sie schreibt sich kovariant in der Form

$$(\dagger B)^{\mu \nu} u_{\nu}=\mu (\dagger H)^{\mu \nu} u_{\nu}$$ (119)

oder in dreidimensionaler Form ausgedrückt

$$\vec{B}-\frac{\vec{v}}{c} \times \vec{E} = \mu \left ( \vec{H}-\frac{\vec{v}}{c} \times \vec{D} \right).$$ (120)

Für die Zeitkomponente der Vierertensorgleichung (119) gilt das Analoge wie oben für (116) und (117).

Es ist klar, daß wir (112) aus (117) und (120) erhalten können, indem wir die letzteren Gleichungen zum einen skalar, zum anderen vektoriell mit $\vec{v}$ addieren und dann die Felder in Komponenten parallel und senkrecht zu $\vec{v}$ zerlegen. Unsere vollrelativistischen makroskopischen Maxwellgleichungen lauten also

$$\rot \vec{E}+\frac{1}{c} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}=0, \quad \div \vec{B}=0,$$ (121)

$$\rot \vec{H}-\frac{1}{c} \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} = \frac{1}{c} \vec{j}, \quad \div \vec{D} = n_Q,$$ (122)

$$\vec{D}+\frac{\vec{v}}{c} \times \vec{H}=\epsilon \left(\vec{E} + \frac{\vec{v}}{c} \times \vec{B} \right ),$$ (123)

$$\vec{B}-\frac{\vec{v}}{c} \times \vec{E} = \mu \left (\vec{B}-\frac{\vec{v}}{c} \times \vec{D} \right )=0,$$ (124)

$$\vec{j}=\gamma \sigma \left(\vec{E}+\frac{\vec{v}}{c} \times \vec{B} \right ).$$ (125)