Flußquantisierung

Der magnetische Fluß durch einen supraleitenden Ring kann nur quantisierte Werte annehmen. Die Flußquantisierung ist übrigens ein Beispiel für einen langreichweitigen Quanteneffekt, denn die Kohärenz des supraleitenden Zustandes reicht über den ganzen Ring.

Für die Geschwindigkeit eines Teilchen gilt nach Hamilton:

$$\vec{v}=\frac{1}{m}\left(\vec{p}-\frac{q}{c}\vec{A}\right)= \frac{1}{m}\left(-i\hbar\nabla-\frac{q}{c}\vec{A}\right)$$

Der Teilchenfluß ist gegeben durch

$$\psi^*\vec{v}\psi=\frac{n}{m}\left(\hbar\nabla\theta-\frac{q}{c}\vec{A}\right)$$ (1)

Hierbei ist

$$\psi = n^{\frac{1}{2}}e^{i\theta(\vec{r})}; \hspace{1cm}\psi^*=n^{\frac{1}{2}}e^{-i\theta(\vec{r})}$$

Für die elektrische Stromdichte folgt dann:

$$\vec{j}=q\psi^*\vec{v}\psi = \frac{nq}{m} \left( \hbar\nabla\theta- \frac{q}{c}\vec{A}\right)$$ (2)

Bildet man auf beiden Seiten die Rotation, erhält man die Londongleichung

$$\mbox{rot}\vec{j}=-\frac{nq^2}{mc}\vec{B}$$ (3)

Dabei wurde benutzt, daß die Rotation des Gradienten eines Skalars verschwindet. Sei nun C ein geschlossen Weg der im Inneren des supraleitenden Ringes liegt. Wegen des Meißner-Effekts können wir sagen, daß $\vec{B}$ und $\vec{j}$ im Innern Null sind. Gleichung (2) wird Null, wenn

$$\hbar c\nabla\theta=q\vec{A}$$ (4)

Für die Phasenänderung bei einmaligem Umlauf des Ringes gilt

$$\oint_C\nabla\theta\cdot dl=\theta_2 -\theta_1$$

In der klassischen Näherung ist die Wahrscheinlichkeitsamplitude meßbar, so daß $\psi$ eindeutig sein muß und gelten muß:

$$\theta_2 - \theta_1 = 2\pi s$$ (5)

wobei s eine ganze Zahl ist. Wendet man den Stokeschen Satz an gilt

$$\oint_C\vec{A}\cdot dl = \int_C(\mbox{rot} \vec{A}) \cdot d\sigma=\int_C\vec{B}\cdot\sigma =\Phi$$ (6)

wobei $d\sigma$ ein Flächenelement auf einer von C begrenzten Fläche ist, und $\Phi$ der magnetische Fluß durch C. Mit (4), (5) und (6) folgt $2\pi\hbar cs = q\Phi$, oder

$$\Phi = (2\pi\hbar c/q)s$$

Der Fluß durch den Ring ist also durch ganzzahlige Vielfache von $2\pi\hbar c/p$ quantisiert. Das Experiment hat für q den Wert 2e ergeben. Das bedeutet, daß der Suprastrom von Teilchen der Ladung 2e, den Cooper-Paaren getragen wird.