Das Hamiltonsche Wirkungsprinzip

Um nun einige Untersuchungen hinsichtlich der Symmetrieeigenschaften der mechanischen Systeme anstellen zu können, suchen wir eine Formulierung der relativistischen Mechanik mit Hilfe des Hamiltonschen Prinzip der kleinsten Wirkung.

Zunächst erscheint es am einfachsten, auf manifeste Kovarianz zu verzichten und das Prinzip in Analogie zur nichtrelativistischen Mechanik zu formulieren. Dazu wird das Wirkungsfunktional definiert, das alle möglichen Trajektorien $\vec{x}(t)$ eines Punktteilchens wie folgt in die reellen Zahlen abbildet:

$$A[\vec{x}]=\int \d t L(\vec{x},\d_t \vec{x},t).$$ (1.86)

Das Hamiltonsche Prinzip zeichnet nun die abhängig von den Anfangsbedingungen tatsächlich durchlaufenen Bahnen dadurch aus, daß $A$ unter beliebigen Variationen der Trajektorien um die Bahnen stationär ist, wobei die Zeit ein fester Parameter ist, der nicht mittransformiert wird. Variieren wir also $A$ gemäß dieser Vorschrift. Die Endpunkte der Trajektorien werden dabei definitionsgemäß festgehalten:

$$\delta A[\vec{x}]=A[\vec{x}+\delta \vec{x}]-A[\vec{x}]=\int \d t ... ...artial_{\vec{x}} L + \delta \d_t \vec{x} \partial_{\d_t \vec{x}} L \right ].$$ (1.87)

Wegen $\delta t=0$ gilt nun

$$\delta \d_t \vec{x}=\d_t \delta \vec{x},$$ (1.88)

und wir können im zweiten Term in (1.88) partiell integrieren. Wegen der Randbedingungen $\delta \vec{x}(\pm \infty)=0$ an die Variation, verschwindet der integralfreie Anteil, so daß wir schließlich

$$\delta A[\vec{x}]=\int \d t \delta \vec{x} \left [ \partial_{\vec{x}} L-\frac{\d}{\d t} \partial_{\d_t \vec{x}} L \right ]$$ (1.89)

erhalten.

Bezeichnet nun $\vec{x}$ die tatsächlich durchlaufene Bahn, muß dieser Ausdruck für alle Variation $\delta \vec{x}$ verschwinden, und das kann nur der Fall sein, wenn in (1.89) die Klammer unter dem Integral identisch verschwindet. So gelangt man zu den Euler-Lagrangegleichungen

$$\partial_{\vec{x}} L=\frac{\d}{\d t} \partial_{\d_t \vec{x}} L.$$ (1.90)

Die physikalisch entscheidende Frage ist nun, wie man die Lagrangefunktion $L$ bestimmt. Wir haben dazu zunächst lediglich die Struktur der Raumzeit zur Verfügung, die wir bereits über Symmetrieprinzipien festgelegt haben.

Für ein freies Teilchen steht uns lediglich $\vec{x}$ selbst als ,,Baustein'' für die Lagrangefunktion zur Verfügung. Wir müssen nun verlangen, daß ein freies Teilchen einem Poincaré-invarianten Bewegungsgesetz folgt. Das Wirkungsprinzip vereinfacht diese Aufgabe erheblich: Wir können einfach verlangen, daß die Wirkung Poincaré-invariant sein möge^1.11. Diese Forderung läßt sich nun wieder am bequemsten dadurch erfüllen, daß das Differential $\d t \; L$ Poincaré-invariant ist.

Zunächst betrachten wir die Untergruppe der Raum-Zeit-Translationen. Es soll also $\d t \; L$ unter der Variation

$$\delta t= , \quad \delta \vec{x}=$$ (1.91)

invariant sein. Dies ist nur möglich, wenn $L$ eine Funktion der Geschwindigkeiten $\vec{v}=\d_t \vec{x}$ allein ist, denn es ist ja schon $\delta \d t=\d \delta t=0$ unter den Variationen (1.91), und es gilt $\delta \vec{v}=\delta \d_t \vec{x}=\d_t \delta \vec{x}=0$.

Wir müssen weiter $L=L(\partial_t \vec{x})$ so festlegen, daß $\d t \; L$ auch unter Lorentztransformationen invariant ist. Aus den Vierervektorkoordinatendifferentialen können wir aber nun nur eine Invariante bilden, nämlich das Eigenzeitelement

$$\d \tau = \sqrt{d x_{\mu} d x^{\mu}}=\d t \sqrt{1-\vec{v}^2}$$ (1.92)

Damit ist aber $L \propto \sqrt{1-\vec{v}^2}$ festgelegt. Die Proportionalitätskonstante sollte negativ sein, damit das Wirkungsfunktional ein Minimum besitzt, und die Dimension von $L$ sollte die einer Energie sein, damit $\d t \; L$ die Dimension einer Wirkung erhält. Wir setzen also als Lagrangefunktion für ein freies Teilchen

$$L=-m \sqrt{1-\vec{v}^2}, \quad \vec{v}=\d_t \vec{x}$$ (1.93)

an.

Die Euler-Lagrangegleichungen (1.90) ergeben dann

$$\frac{\d}{\d t} \frac{\vec{v}}{\sqrt{1-\vec{v}^2}}=0.$$ (1.94)

Also ist

$$\frac{\vec{v}}{\sqrt{1-\vec{v}^2}}=\vec{A}= .$$ (1.95)

Quadrieren dieser Gleichung ergibt dann

$$\vec{v}^2=\frac{\vec{A}^2}{1+\vec{A}^2}= ,$$ (1.96)

und dies in (1.94) ausgenutzt ergibt sofort, daß

$$\vec{v}=$$ (1.97)

sein muß. Damit ist aber das spezielle Relativitätsprinzip erfüllt, demzufolge ein freies Teilchen sich geradlinig gleichförmig bewegen (oder in Ruhe verharren) muß. Unser Ansatz (1.93) erfüllt also die Forderungen des speziellen Relativitätsprinzips und ist demzufolge eine korrekte Version eines relativistischen Variationsprinzips für ein freies Teilchen.

Als nächstes wollen wir mit dem speziellen Relativitätsprinzip vereinbare Wechselwirkungen mit äußeren Feldern aufsuchen. Unter ,,äußeren Feldern'' verstehen wir solche Felder, die wir irgendwie erzeugt denken, etwa ein elektromagnetisches Feld durch Ladungs- und Stromverteilungen, wobei die Rückwirkung des untersuchten Punktteilchens auf die Felder selbst vernachlässigt werden kann. Ein Beispiel ist etwa die Bewegung einzelner Elektronen im elektrischen Feld eines Plattenkondensators oder dem Magnetfeld einer Spule, die von makroskopisch großen Strömen durchflossen wird.

Dazu ist es nun von großem Vorteil, manifest kovariante Formulierungen der Wirkung zu verwenden, d.h. die Lagrangefunktion manifest Lorentz-invariant zu schreiben. Dies gelingt am einfachsten, indem man einen skalaren Weltzeitparameter $\lambda$ einführt und die Trajektorien in der vierdimensionalen Raumzeit $x^{\mu}(\lambda)$ betrachtet, wobei $x^{\mu}$ die Zeit- und Raumkoordinaten bzgl. eines beliebigen Inertialsystems bezeichnen. Es ist klar, daß dabei wie bei unserer Formulierung mit der Eigenzeit $\tau$ des Teilchens die scheinbare Überzahl von einem Freiheitsgrad durch eine Nebenbedingung der Art (1.68) reduziert wird. Letztlich sind ja die drei räumlichen Koordinaten die eigentlichen dynamischen Freiheitsgrade des Punktteilchens.

Am elegantesten läßt sich das Wirkungsprinzip umformulieren, indem man die allgemeine Unabhängigkeit der Variation des Wirkungsfunktionals im Hamiltonschen Sinne vom Parameter $\lambda$ verlangt, der auch als die Zeit $t$ gewählt werden kann. Die vier Koordinaten $x^{\mu}$ können dann frei variiert werden, und da die Wirkung stets dieselbe ist, auch wenn man $\lambda=t$ setzt, kann man sicher sein, stets dasselbe dynamische System zu beschreiben. Man kann freilich auch die Eigenzeit $\tau$ selbst als Weltparameter wählen, nachdem die Euler-Lagrangegleichungen aus dem Variationsprinzip bestimmt sind. Vorher ist das nicht möglich, weil $\tau$ kein von $\vec{x}(t)$ bzw. $x^{\mu}(\lambda)$ unabhängiger Parameter ist.

Wir schreiben also die Wirkung in der Form

$$A[x]=\int \d \lambda \; L(x,\dot{x}), \quad \dot{x}=\d_{\lambda} x.$$ (1.98)

Die unabhängige Variation der vier Raumzeitkoordinaten bei festgehaltenen Randpunkten führt dann wie bei der obigen Rechnung auf die Euler-Lagrangegleichungen

$$\frac{\d}{\d \lambda} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=\frac{\partial L}{\partial x}.$$ (1.99)

Für das freie Teilchen ist sie wegen (1.93) durch

$$L=-m \sqrt{\dot{x}^2}=-m \sqrt{\dot{x}_{\mu} \dot{x}^{\mu}}$$ (1.100)

gegeben, und die Euler-Lagrangegleichungen ergeben

$$\frac{\d}{\d \lambda} \left (\frac{\dot{x}}{\sqrt{\dot{x}^2}} \right)=0.$$ (1.101)

Wie oben erhält man wieder die korrekte Lösung $\vec{v}=0$. Dies ist deshalb gewährleistet, weil für das freie Teilchen $L$ eine von erster Ordnung homogene Funktion von $\dot{x}$ ist und folglich das freie Wirkungsfunktional für alle Weltparameter $\lambda$ identisch ist.

Wir untersuchen nun die Bedingung an die Lagrangefunktion, die die Unabhängigkeit der Wirkung $A$ von der Wahl des Weltparameters $\lambda$ sicherstellt. Dazu variieren wir nun $\lambda$ durch eine infinitesimale ,,Umparametrisierung'':

$$\lambda'(\lambda)=\lambda+\delta \lambda(\lambda).$$ (1.102)

Nun vertauschen die Ableitung nach $\lambda$ und die Variation gemäß (1.102) nicht. In erster Ordnung in $\delta$ haben wir nämlich

$$\delta \dot{x}=\frac{\d x}{\d \lambda'}-\frac{\d x}{\d \lambda}=-... ... \lambda} \frac{\d \delta \lambda}{\d \lambda} = -\dot{x} \dot{\delta \lambda}.$$ (1.103)

Das Differential im Wirkungsintegral transformiert sich gemäß

$$\d (\lambda+\delta \lambda)=\d \lambda (1+\dot{\delta \lambda}),$$ (1.104)

so daß die Variation der Wirkung durch

$$\delta A=\int \d \lambda \left \{ (1+\dot{\delta \lambda}) \left ... ...partial \dot{x}} \dot{x} \dot{\delta \lambda} + \dot{\delta \lambda} L \right ]$$ (1.105)

gegeben ist.

Nun liefert das Hamiltonsche Prinzip offensichtlich dieselben Bewegungsgleichungen, wenn man die Lagrangefunktion um die totale Ableitung einer Funktion $\Omega(x,\lambda)$ nach $\lambda$ ändert, da dies in der Wirkung nur Randterme liefert, und beim Hamiltonschen Prinzip die Werte der Weltlinie $x(\lambda)$ am Rande des Integrationsintervalls (hier der Einfachheit halber $\lambda \rightarrow \pm \infty$) nicht variiert werden. Folglich ist also nach partieller Integration von (1.105) zu verlangen, daß es eine Funktion $\Omega(x,\lambda)$ gibt, so daß

$$\frac{\d L}{\d \lambda}=\frac{\d}{\d \lambda} \left (\dot{x} \fra... ...ial \Omega}{\partial x} + \frac{\partial^2 \Omega}{\partial \lambda^2} \right )$$ (1.106)

ist. Das bedeutet, daß

$$L=\dot{x} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}+\dot{x} \frac{\part... ...\Omega}{\partial x} + \frac{\partial^2 \Omega}{\partial \lambda^2} +A, \quad A=$$ (1.107)

sein muß. Wir können nun obdA.

$$\Omega=-\frac{A}{2} \lambda^2$$ (1.108)

wählen, woraus dann die gesuchte Bedingung

$$L=\dot{x}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}$$ (1.109)

folgt.

Dies ist nun sicher der Fall, wenn L eine homogene Funktion erster Ordnung in $\dot{x}$ ist, also wenn für einen beliebigen positiven Parameter $\sigma$ gilt^1.12

$$L(x,\sigma \dot{x})=\sigma L(x,\dot{x}).$$ (1.110)

Es ist allerdings eine hinreichende, keine notwendige Bedingung.