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Kanonische Quantisierung der QED

Die kanonische Quantisierung der QED stößt auf charakteristische Schwierigkeiten, die mit der Eichinvarianz der QED zusammenhängen. Wir betrachten im folgenden den einfachsten Fall der elektromagnetischen Wechselwirkung von Elektronen und Positronen. Wir bezeichnen die Elementarladung mit $ e>0$ . In unseren Heaviside-Lorentzeinheiten lautet der Zusammenhang zur Feinstrukturkonstanten

$\displaystyle \alpha=\frac{e^2}{4\pi} \simeq \frac{1}{137}.$ (3)

Die Lagrangedichte der zu quantisierenden klassischen Feldtheorie lautet dann

$\displaystyle \Lag=-\frac{1}{4} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu} +\bar{\psi}(\ii \fslash{\partial}-m) \psi +e \bar{\psi} \fslash{A} \psi$   mit$\displaystyle \quad F_{\mu \nu}=\partial_{\mu} A_{\nu} - \partial_{\nu} A_{\mu}.$ (4)

Diese Lagrangedichte ist invariant unter der lokalen Eichtransformation

$\displaystyle \psi \rightarrow \exp(\ii e \chi) \psi, \quad \bar{\psi} \rightar...
...-\ii e \chi) \bar{\psi}, \quad A_{\mu} \rightarrow A_{\mu}+\partial_{\mu} \chi.$ (5)

Wir können also außer den Bewegungsgleichungen noch eine Nebenbedingung fordern, und für die Zwecke der kanonischen Quantisierung erweist sich die nichtkovariante Coulombeichbedingung

$\displaystyle \vec{\nabla} \vec{A}=0$ (6)

als bequem. Die kanonische Quantisierung bricht ohnehin die manifeste Kovarianz, da aufgrund der Auszeichnung der Zeitvariable im (stillschweigend) zugrundegelegten inertialen Bezugssystems dasselbe (unphysikalisch!) ausgezeichnet wird. Wir werden im Verlaufe unserer Betrachtungen sehen, daß physikalisch beobachtbare Größen wie $ S$ -Matrixelemente und Streuquerschnitte allerdings invariant sind und somit tatsächlich kein ,,Quantisierungsbezugssystem1ausgezeichnet wird.

Der erste Schritt zur Quantisierung ist die Berechnung der kanonischen Feldimpulse für das elektromagnetische (em.) Feld. Dazu schreiben wir zunächst die Lagrangedichte in Dreierschreibweise hin, zerlegen also die kovarianten Tensorkontraktionen in Zeit- und Raumanteile:

$\displaystyle \Lag=\frac{1}{2}(\vec{\nabla} A^0+\dot{\vec{A}})^2-\frac{1}{2} (\...
...i \fslash{\partial}-m) \psi - A_0 \rho_{\text{el}}+\vec{A} \vec{j}_{\text{el}},$ (7)

wobei wir zur Abkürzung den Elektron-Positron-Strom

$\displaystyle j_{\text{el}}^{\mu}=-e \bar{\psi} \gamma^{\mu} \psi, \quad j_{\text{el}}^0=\rho_{\text{el}}.$ (8)

eingeführt haben.

Dies ergibt für die kanonischen Feldimpulse für das em. Feld

$\displaystyle \Pi_A^0=\frac{\partial \Lag}{\partial \dot{A}_0} = 0, \quad \vec{\Pi}_{A} = \frac{\partial \Lag}{\partial \dot{\vec{A}}}.$ (9)

Die Tatsache, daß $ \Pi_A^{0}$ verschwindet, führt uns dazu, daß das Feld $ A^0$ kein physikalisches Feld ist und unter Verwendung der Eichbedingung (7) mit Hilfe der Bewegungsgleichungen zu eliminieren ist. Die Bewegungsgleichung für $ A^0$ lautet

$\displaystyle S[A,\psi,\bar{\psi}]=\int \dd^4 x \Lag \, \Rightarrow \, \frac{\delta S}{\delta A^0}= -\Delta A^0-\rho_{\text{el}}=0.$ (10)

Dies bedeutet, daß das $ A^0$ ein instantanes Coulombfeld ist, was sich allerdings lediglich als Folge unserer Brechung der manifesten Kovarianz erweisen und keinen Anlaß zu Kausalitätsverletzungen geben wird. Fahren wir also mit unserem Quantisierungsverfahren fort. Wir denken uns also in (7) für $ A^0$ überall die wohlbekannte Lösung der Poissongleichung (10)

$\displaystyle A^0(t,\vec{x})=\int \dd^3 \vec x' \frac{\rho_{\text{el}}(t,\vec{x}')}{4 \pi \vert\vec{x}-\vec{x}'\vert}$ (11)

eingesetzt. Zusammen mit der Coulombeichbedingung (6) wird unsere Lagrangedichte nach einigen Umformungen

$\displaystyle \Lag = \frac{1}{2} \dot{\vec{A}}^2 + \frac{1}{2} \vec{A} \Delta \...
...artial}-m) \psi-\frac{1}{2} \rho_{\text{el}} A^0 + \vec{A} \vec{j}_{\text{el}}.$ (12)

Dabei haben wir vollständige Dreierdivergenzen weggelassen, da diese für die Wirkung im Hamiltonschen Prinzip der kleinsten Wirkung irrelevant sind. Jedenfalls ist nun (12) zusammen mit der Coulombeichbedingung (6) der Ausgangspunkt für die kanonische Quantisierung für die Störungstheorie.




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Hendrik van Hees 2016-10-26