Nächste Seite: Beispiele Aufwärts: QED in Coulombeichung Vorherige Seite: Kanonische Quantisierung der QED   Inhalt

Die Feynmanregeln

Dazu gehen wir ins Wechselwirkungsbild und bestimmen zunächst die freien Feldoperatoren. Dabei sind aufgrund der Coulombeichbedingung von den drei Feldern $ \vec{A}$ nur zwei voneinander unabhängig. Sie sind durch die Eichbedingung und die Bewegungsgleichungen bestimmt. Es ergibt sich für $ \vec{A}$ aus dem Variationsprinzip für die freie Wirkung

$\displaystyle S_0[\vec{A},\psi,\bar{\psi}]=\int \dd^3 \vec{x} \Lag_0$   mit$\displaystyle \quad \Lag_0 = \frac{1}{2} \dot{\vec{A}}^2 + \frac{1}{2} \vec{A} \Delta \vec{A} + \bar{\psi}(\ii \fslash{\partial}-m) \psi$ (13)

die Bewegungsgleichungen im Wechselwirkungsbild

$\displaystyle \Box \vec{A}=0, \quad (\ii \fslash{\partial}-m) \psi=0.$ (14)

Das Feld $ \vec{A}$ läßt sich also nach ebenen Wellen entwickeln, wobei wegen der Coulombeichbedingung (6) für jeden Impuls nur die beiden transversalen Moden zu verwenden sind. Wir schreiben das Resultat sogleich in Operatorschreibweise hin

$\displaystyle \vec{\op{A}}=\sum_{\lambda=\pm 1} \tilint{\vec{p}} \left[\op{a}(\...
...\vec{\epsilon}^*(\vec{p},\lambda) \exp(\ii p x) \right ]_{p_0=\omega(\vec{p})}.$ (15)

Dabei haben wir für die Moden Helizitätseigenmoden verwendet. Für $ p=p \vec{e}_3$ sind die Polarisationsvektoren durch

$\displaystyle \vec{\epsilon}(p \vec{e}_3,\pm 1)=\frac{1}{\sqrt{2}} (\vec{e}_1 \pm \ii \vec{e}_{2})$ (16)

gegeben. Für beliebige andere Richtungen des Dreierimpulses $ \vec{p}$ gehen die Polarisationsvektoren durch einfache Drehungen aus (16) hervor. Wir werden im folgenden zur Berechnung des Photonenpropgators allerdings nur die Helizitätssummen

$\displaystyle \sum_{\lambda=\pm 1} \vec{\epsilon}^*(\vec{p},\lambda) \otimes \v...
...epsilon}(\vec{p},\lambda) = \einsop - \frac{\vec{p} \otimes \vec{p}}{\vec{p}^2}$ (17)

benötigen. Die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren erfüllen im Sinne des kanonischen Quantisierungsformalismusses die kanonischen Vertauschungsrelationen für Bosonen

$\displaystyle \comm{\op{a}(\vec{p},\lambda)}{\op{a}(\vec{p}',\lambda')}=0, \qua...
...\vec{p}',\lambda')} = \delta^{(3)}(\vec{p}-\vec{p}') \delta_{\lambda \lambda'}.$ (18)

Für die Störungsrechnung benötigen wir nun den zeitgeordneten Photonenpropgator2. Dieser ist definitionsgemäß durch

$\displaystyle \ii \Delta_{jk}(x)=\matrixe{0}{\mathcal{T} \op{A}_j(x) \op{A}_k(0)}{0}$ (19)

gegeben. Eine kurze Rechnung unter Verwendung von (15), (17) sowie $ \op{a}(\vec{p},\lambda) \ket{0}=0$ liefert schließlich unter Verwendung des üblichen Konturintegrationstricks in der $ p^0$ -Ebene

\begin{displaymath}\begin{split}D_{jk}^{(\text{trans})}(p)&=\frac{1}{p^2+\ii 0^+...
... \pi)^4} D^{(\text{trans})}_{jk}(p) \exp(-\ii p x). \end{split}\end{displaymath} (20)

Dies zeigt den einzigen Vorteil der kanonischen Quantisierung mit vollständiger Eichfixierung: Es propagagieren von vornherein nur die physikalischen transversalen Freiheitsgrade der Photonen. Freilich erkauft man sich dies durch die Unbequemlichkeit, daß die Feynmanregeln nicht manifest kovariant sind.

Dem können wir abhelfen, indem wir die Vierergeschwindigkeit des Quantisierungsbezugssystems $ (U^{\mu})=(1,0,0,0)^t$ einführen. Nach einigem Rechnen findet man die Darstellung

$\displaystyle D_{\mu \nu}^{(\text{trans})}(p)=\frac{1}{p^2+\ii 0^+} \left [-g_{...
...p U)(p_{\mu} U_{\nu}+p_{\nu} U_{\mu}) + p_{\mu} p_{\nu}}{(p U)^2-p^2} \right ].$ (21)

Der Vollständigkeit halber schreiben wir auch die Entwicklung des Diracfeldes nach ebenen Wellen an:

$\displaystyle \psi(x)=\sum_{\sigma=\pm 1/2} \tilint{p} [\op{b}(\vec{p},\sigma) ...
...agger}(\vec{p},\sigma) v(\vec{p},\sigma) \exp(\ii p x) ]_{p_0=\omega(\vec{p})}.$ (22)

Dabei sind $ \op{b}$ ($ \op{c}$ ) Vernichtungsoperatoren für Elektronen (Positronen) und erfüllen die üblichen Antikommutatorrelationen für Fermionen mit der in (2) spezifizierten Normierung. Die Spinoren $ u$ und $ v$ sind so normiert, daß für die Spinsummen

$\displaystyle \sum_{\sigma=\pm 1/2} u(\vec{p},\sigma) \bar{u}(\vec{p},\sigma)=\...
...ad \sum_{\sigma=\pm 1/2} v(\vec{p},\sigma) \bar{v}(\vec{p},\sigma)=\fslash{p}-m$ (23)

gilt.

Der zeitgeordnete Dirac-Fermionenprogagator im Impulsraum lautet

$\displaystyle G(p)=\frac{\fslash{p}+m}{p^2-m^2+\ii 0^+}.$ (24)

Kommen wir nun zum Wechselwirkungsanteil der Lagrangedichte (12):

$\displaystyle \Lag_{I}=-\frac{1}{2} \rho_{\text{el}} A^0-e \vec{A} \bar{\psi} \vec{\gamma} \psi$ (25)

Betrachten wir zunächst den zweiten Term. Wir können den üblichen kovarianten QED-Dreiervertex verwenden, denn sowohl unser Propagator (21), der innere Linien von Feynmandiagrammen entsprechen, als auch die Polarisationstensoren $ \epsilon(\vec{p},\pm
1)=[0,\vec{\epsilon}(\vec{p},\pm 1)]^t$ , die äußeren Photonenlinien zugeordnet werden (also reale asymptotische Photonen in Endzustand), enthalten nur rein räumliche Komponenten.

Der erste Term in (25) lautet gemäß (8) und (11)

\begin{displaymath}\begin{split}-\frac{1}{2} \rho_{\text{el}}(x) A^0(x)&=-\frac{...
...i j_{\text{el}}^{\mu}(x') \ii j_{\text{el}}^\mu(x), \end{split}\end{displaymath} (26)

wobei

$\displaystyle D_{\mu \nu}^{(\text{inst})}(p)=\frac{U_{\mu} U_{\nu}}{(p U)^2-p^2}.$ (27)

Daraus ergibt sich, daß wir einen Viererfermionenvertex erhalten, der sich nach den üblichen Diagrammregeln für ein Ein-Photonenaustauschdiagramm ergibt, wobei aber als innere Linie $ \ii
D_{\mu \nu}^{(\text{inst})}$ , also ein instantaner Coulombpropagator (27) statt eines echten Photonenpropagators einzusetzen ist. Weiter ist noch der zusätzliche Faktor $ 1/2$ wesentlich für die korrekte Bestimmung des kombinatorischen Faktors solcher Teildiagramme im Kontext größerer Diagramme. Wir stellen die graphischen Regeln in Fig. 1 zusammen.
Abbildung: Die fundamentalen Feynmandiagrammelemente im kanonischen Formalismus in Coulombeichung. Links sind die Propagatoren (innere Linien) und Vertices, rechts die äußeren Beinchen (Wellenfunktionen) dargestellt.
\includegraphics[width=0.99\textwidth]{feynrules-coul-can}
\includegraphics[width=0.99\textwidth]{feynrules-ext-lines}
Die hier besprochenen Feynmandiagramme, die sich aus den in Abb. 1 gezeigten Diagrammelementen zusammensetzen, symbolisieren einzelne Terme in der Störungsreihe für die invarianten Matrixelemente für Streuprozesse (oder Teilchenzerfälle, was aber hier in der QED nicht vorkommt, denn sowohl Photonen als auch Elektronen/Positronen sind stabile Teilchen). Der Ausdruck für ein Diagramm ergibt sich dabei nach folgenden Regeln3:

  1. Es sind alle topologisch verschiedenen Diagramme für einen bestimmten Prozeß in einer gegebenen Ordnung in Potenzen der Koplungskonstanten $ e$ zu zeichnen. Die einzelnen Elemente in diesen Diagrammen besitzen die in Abb. 1 gegebene Bedeutung.
  2. Jedes Diagramm ist mit kombinatorischen Faktoren $ \ii
M_{fi}$ zu multiplizieren, und zwar zunächst mit einem Faktor $ \frac{1}{n!}$ , wobei $ n$ die Anzahl der elementaren Vertices in einem Diagramm ist und einen Multinomialfaktor, der sich beim Potenzieren des Wechselwirkungshamiltonoperators in der Dyson-Wickreihe (Exponentialfunktion) ergibt. Dabei ist für die hier besprochene kanonische Coulombeichung zu beachten, daß das instane Coulombaustauschdiagramm formal von 1. Ordnung ist, obwohl es zwei Vertices enthält und von der Ordnung $ e^2$ ist. Dann erhält jedes Diagramm noch ein kombinatorisches Gewicht entsprechend der möglichen Anzahl von Verbindungen der Vertices untereinander mit Propagatorlinien bzw. der äußeren Punkte mit Beinchen, die den Feldoperatoren entsprechen. Diese Zählung entspricht der Summation aller möglicher Kontraktionen von Operatoren in den Vakuumerwartungswerten gemäß dem Wickschen Theorem, die alle zum gleichen Ausdruck führen, der diagrammatisch durch die Topologie des Diagramms festliegt.
  3. Diagramme, die sich nur durch die Vertauschung von Paaren von Fermionenlinien unterscheiden erhalten relativ unterschiedliches Vorzeichen. Dies rührt von den Permutationen der Fermionenoperatoren bei der Anwendung des Wicktheorems her, die nötig sind, um die zu kontrahierenden Operatoren in die richtige Reihenfolge und nebeneinander zu bringen, so daß die Kontraktionen jeweils Fermionenpropagatoren bzw. Wellenfunktionen ergeben.
  4. Aus demselben Grunde erhält das Diagramm für jede geschlossene Fermionenschleife, die nicht durch Photonenpropagatoren unterbrochen wird, ein zusätzliches $ -$ -Zeichen.
  5. An jedem Vertex gilt Viererimpulserhaltung. Über dadurch nicht festgelegte Impulse in Schleifen ist mit $ \int \dd^4 p/(2 \pi)^4$ zu integrieren. Dabei auftretende Divergenzen denken wir uns durch ein eichinvariantes Regulatorverfahren regularisiert (für eine ausführliche Darstellung der hier besonders bequemen dimensionalen Regularisierung vgl. wieder [Hee02]).

Wir können nun bereits durch ein einfaches diagrammatisches Argument den für die Konsistenz der Eichtheorie mit den fundamentalen Grundlagen der relatischen QFT eminent wichtigen Schluß ziehen, daß sich sämtliche Diagrammteile, die instantanen Coulombwechselwirkungen entsprechen, gegenseitig wegheben bzw. überhaupt nicht zu physikalisch beobachtbaren Größen wie $ S$ -Matrixelementen beitragen. Dies sieht man wie folgt ein: Statt die instantane Coulombwechselwirkung im Wechselwirkungsteil als Diagramm der ersten störungstheoretischen Ordnung zu interpretieren, kann man es auch als aus zwei gewöhnlichen Vertizes zusammengesetzt denken4. Dadurch wird es formal zur zweiten Ordnung der Störungstheorie. Dann ist der gesonderte Faktor $ 1/2$ freilich wegzulassen, und die kombinatorischen Faktoren des Diagramms genauso zu zählen wie für ein Einphotonenaustauschdiagramm, wobei allerdings der gepunktet gezeichnete Propagator, der der instantanen Coulombwechselwirkung entspricht, zu verwenden ist. Daraus folgt aber sofort, daß es für jedes Einphotonenaustauschunterdiagramm innerhalb eines gegebenen Diagramms ein gleichartiges Diagramm geben muß, das statt der Einphotonenpropagatorlinie eine instantane Coulombfeldlinie enthält, und das gilt in allen Kombinationen solcher Diagramme. Das führt nun unmittelbar zu dem gewünschten Resultat: Statt zwei Arten von em. Feldlinien (transversale Photonenpropgatoren und instantane Coulombwechselwirkungen) zu verwenden, können wir auch gleich die Summe dieser beiden Diagrammelemente verwenden. Dies führt dann gemäß (21) auf den Photonenpropagator in Coulombeichung im modernen Sinne, also auf

$\displaystyle D_{\mu \nu}^{(\text{coul})}(p)=\frac{1}{p^2+\ii 0^+} \left [-g_{\...
...ac{(p U)(p_{\mu} U_{\nu}+p_{\nu} U_{\mu})-p_{\mu} p_{\nu}}{(pU)^2-p^2} \right].$ (28)

Damit sind wir bereits den wichtigsten Anteil instantaner Coulombfelder im Formalismus losgeworden und können die Diagrammregeln für die elementaren Vertices gemäß Abb. 2 vereinfachen.
Abbildung: Die fundamentalen Feynmandiagrammelemente im modernen Formalismus in Coulombeichung. Die Bedeutung der äußeren Beinchen bleibt gegenüber dem kanonischen Formalismus ungeändert (vgl. Abb 1).
\includegraphics[width=0.48\linewidth]{feynrules-coul-mod}

Es verbleiben allerdings noch die übrigen Terme im zweiten Summanden von (28). Diese enthalten jedoch wenigstens einen Photonenimpuls $ p_{\mu}$ bzw. $ p_{\nu}$ . Es läßt sich zeigen, daß diese Terme aufgrund der Stromerhaltung weder in Verbindung mit Vertizes, die in inneren Elektronenpropagatorlinien noch in Verbindung mit äußeren Elektronen- bzw. Positronenlinien auftreten. Formal äußert sich dies zum einen in der Ward-Takahashi-Identität zwischen Vertizes und Elektronenpropagatoren, zum anderen in der für äußere Linien geltenden ,,on-shell``-Bedingung für die asymptotischen Zustände $ u$ und $ v$ , die sich in der Gültigkeit der im Impulsraum geschriebenen freien Diracgleichung für die Elektronen- bzw. Positronenfeldmoden, d.h.

$\displaystyle (\fslash{p}-m)u(p,\sigma)=(\fslash{p}+m) v(p,\sigma)=0$   mit$\displaystyle \quad p^2=m^2$ (29)

äußern. Wir werden uns weiter unten noch mit Hilfe des Pfadintegralformalismusses und funktionaler Methoden auch formal von der Korrektheit dieser Resultate überzeugen. Jedenfalls kann letztlich der Photonenpropagator auch durch den manifest kovarianten, d.h. nicht von einem bestimmten Quantisierungsbezugssystem abhängigen Propagator in Feynmaneichung ersetzt werden:

$\displaystyle D_{\mu \nu}^{(\text{Feyn})}(p)=-\frac{g_{\mu \nu}}{p^2+\ii 0^+}.$ (30)

Im folgenden werden wir jedoch zunächst zwei Beispiele in niedrigster Ordnung mit den ,,kanonischen`` Feynmanregeln der Coulombeichung gemäß Abb. 1 durchrechnen, um uns von den obigen Argumenten exemplarisch zu überzeugen.




Nächste Seite: Beispiele Aufwärts: QED in Coulombeichung Vorherige Seite: Kanonische Quantisierung der QED   Inhalt
Hendrik van Hees 2016-10-26