Nächste Seite: Elastische Elektronenstreuung Aufwärts: Beispiele Vorherige Seite: Beispiele   Inhalt

Paarvernichtung

Wir betrachten den Prozeß $ e^-+e^+ \rightarrow \mu^+ \mu^-$ in niedrigster Ordnung QED-Störungstheorie. Dazu müssen wir zur Lagrangedichte 4 lediglich den Beitrag

$\displaystyle \Lag_{\mu}=\bar{\Psi}(\ii \fslash{\partial}-M+e \fslash{A}) \Psi$ (31)

addieren. Die Feynmanregeln in Abb. 1 ergänzt sich dadurch lediglich durch die Muonpropagatorlinie und einen Photon-Muon-Muon-Vertex. Hinsichtlich der instantanen Coulombwechselwirkungsanteile ist ein Diagrammelement mit zwei Muonenströmen sowie eines mit einem Muon- und einem Elektronenstrom zu ergänzen. Die Feynmanregeln sind vollkommen analog. Nur im letztgenannten ,,gemischten`` instantanen Vierervertex ist der Faktor $ 1/2$ wegzulassen. Es ist klar, daß man auch in diesem Falle wieder die instantanen Vierervertices als Beiträge zweiter Ordnung der Störungstheorie mit einer Coulombfeldaustauschlinie uminterpretieren kann.

Mit diesen Ergänzungen können wir das invariante Matrixelement berechnen. Im kanonischen Formalismus tragen die beiden in Abb. 3 bei.

Abbildung 3: Die Diagramme zur Elektron-Positron-Paarvernichtung zu Muonen im kanonischen Formalismus.
\includegraphics[width=0.48\linewidth]{el-pos-annihil}
Bestimmen wir zunächst die kombinatorischen Faktoren. Das linke Einphotonenaustauschdiagramm ist von zweiter Ordnung Störungstheorie und setzt sich aus zwei Vertices von verschiedenen Termen in der Lagrangedichte zusammen. Wir haben also einen Faktor $ 1/2!$ von der Dyson-Wick-Entwicklung der Exponentialfunktion und einen Faktor vom Quadrieren des Binoms $ \binom{2}{1}=2$ . Nun müssen wir noch überlegen, auf wieviele Arten wir dieses Diagramm durch Verbinden der entsprechenden Linien aus den elementaren Diagrammteilen erhalten kann. Offenbar ist dies nur auf eine Art möglich, denn wir können lediglich auf eine Art die einlaufende Antimuonlinie (entsprechend einem auslaufenden Antimuon) mit der dazugehörigen Wellenfunktion $ V(p_2',\sigma_2')$ verbinden usw. Wir erhalten also insgesamt einen kombinatorischen Gewichtsfaktor von $ 1$ .

Das rechts abgebildete Coulombfeldaustauschdiagramm ist formal von erster Ordnung und besitzt wie oben erläutert einen fundamentalen Faktor $ 1$ . Die äußeren Felder lassen sich wieder nur auf eine Weise mit den Beinchen des Vierervertexes verbinden. Auch dieses Diagramm besitzt also einen kombinatorischen Gewichtsfaktor $ 1$ , wie es auch aufgrund unserer obigen Überlegungen sein muß. In der Tat hebt sich der Coulombfeldanteil gegen den entsprechenden Beitrag im transversalen Propagator (21) weg. Wir können also tatsächlich zum korrekten Ausdruck gelangen, indem wir die Coulombeichungsfeynmanregeln gemäß Abb. 2 verwenden, die freilich ebenfalls durch die entsprechenden Diagrammelemente für die Muonen zu ergänzen sind.

Wir haben also nun folgendes Zwischenresultat:

$\displaystyle \ii \mathcal{M}_{fi}=-\ii e^2 \bar{U}_{1'} \gamma^{\mu} V_{2'} D_{\mu \nu}^{(\text{coul})}(k) \bar{v}_{2} \gamma^{\nu} u_{1}$ (32)

mit dem von reinen Coulombaustauschtermen freien Propagator (28). Dabei stehen groß (klein) geschriebene Diracspinoren für Muonen und Antimuonen (Elektronen und Positronen) und die Notation wie $ u_{1}$ steht als Abkürzung für $ u(p_1,\sigma_1)$ usw.

Als nächstes versichern wir uns, daß die Terme mit den $ k$ und $ U$ im Zähler des Propagators (28) ebenfalls wegfallen, wie es die Lorentzinvarianz des Matrixelements verlangt. Dazu genügt die folgende Betrachtung am Elektronen-Positronenvertex:

$\displaystyle k_{\nu} \bar{v}_2 \gamma^{\nu} u_1=\bar{v}_2 \fslash{p}_1 u_1 + \bar{v}_2 \fslash{p}_2 u_1.$ (33)

Verwenden wir nun die Gleichungen (29) sowie die entsprechenden Dirac-adjungierten Gleichungen

$\displaystyle \bar{u}(p,\sigma)(\fslash{p}-m)=\bar{v}(p,\sigma)(\fslash{p}+m),$ (34)

können wir im linken Term von (33) statt $ \fslash{p}_1
\rightarrow m$ schreiben (Anwendung der Diracmatrix auf $ u_1$ ), im rechten statt $ \fslash{p}_2 \rightarrow -m$ (Anwendung der Diracmatrix nach links auf $ \bar{v}_2$ ) schreiben. Folglich ist also

$\displaystyle k_{\nu} \bar{v}_2 \gamma^{\nu} u_1=\bar{v}_2 \fslash{k} u_1=0.$ (35)

Analog folgt das gleiche für die überschiebung des Muon-Antimuonstroms mit $ k^{\mu}$ . Dies ist direkte Folge der Erhaltung des elektromagnetischen Stromes und notwendige Bedingung für die Eichinvarianz der Theorie.

Es fallen also alle Terme außer dem dem Feynmanpropagator (30) als Photonenlinie entsprechenden Ausdruck weg. Wir erhalten also in der Tat das invariante Matrixelement

$\displaystyle \mathcal{M}_{fi}=\frac{e^2 g_{\mu \nu}}{s} \bar{U}_{1'} \gamma^{\mu} V_{2'} \bar{v}_{2} \gamma^{\nu} u_{1}.$ (36)

Dabei haben wir die Mandelstamvariable $ s=k^2=(p_1+p_2)^2=(p_1'+p_2')^2$ eingeführt5.

Wir rechnen der Vollständigkeit halber noch den Wirkungsquerschnitt für den unpolarisierten Prozeß aus (d.h. wir schießen unpolarisierte Elektronen und Positronen aufeinander und beobachten die Polarisation der produzierten Muon-Antimuonpaare nicht). Dazu brauchen wir das gemittelte Matrixelement

$\displaystyle \overline{\vert\mathcal{M}_{fi}\vert^2} = \frac{1}{4} \sum_{\text{Spins}} \vert\mathcal{M}_{fi} \vert^2.$ (37)

Dabei haben wir über die Spins von Elektron und Positron im Anfangszustand gemittelt (Faktor $ 1/4$ ) und über diejenigen im Endzustand summiert. Mit Hilfe der Spinsummen (23) erhalten wir

$\displaystyle \overline{\vert\mathcal{M}_{fi}\vert^2} = \frac{e^4 g_{\mu \nu} g...
...r \left[(\fslash{p}_{1}+m) \gamma^{\nu} (\fslash{p_2}-m) \gamma^{\nu'} \right].$ (38)

Die Dirac-Spuren lassen sich ohne Probleme (auch mit Hilfe von Computeralgebrasystemen, z.B. unter Verwendung des Tracer-Pakets in Mathematica) auswerten. Das Resultat ist

$\displaystyle \overline{\vert\mathcal{M}_{fi}\vert^2} = 8e^4 \frac{(p_1 p_2')(p_1' p_2)+(p_1 p_1')(p_2 p_2')+ M^2 (p_1 p_2)+m^2(p_1' p_2') + 2 m^2 M^2}{s^2}.$ (39)

Eliminieren wir die Viererimpulsprodukte zugunsten der Mandelstamvariablen

\begin{displaymath}\begin{split}s&=(p_1+p_2)^2=2m^2+2p_1 p_2=2M^2+2p_1'p_2', \\ ...
...&=(p_1-p_2')^2=m^2+M^2+2 p_1 p_2'=m^2+M^2+2p_2 p_1' \end{split}\end{displaymath} (40)

unter Verwendung der Beziehung

$\displaystyle u=2(m^2+M^2)-s-t,$ (41)

erhalten wir schließlich

$\displaystyle \overline{\vert\mathcal{M}_{fi}\vert^2}=\frac{2 e^4}{s^2} \left \...
...2M^2)t+t^2 \right \} \asy_{m,M \rightarrow 0} \frac{2 e^4}{s^2} (s^2+2st+2t^2).$ (42)

Dabei haben wir im letzten Schritt den ultrarelativistischen Limes $ s
\geq M^2,m^2$ betrachtet. Wir rechnen im folgenden der Übersichtlichkeit halber in diesem Limes weiter. Führen wir den Streuwinkel $ \vartheta$ im Schwerpunktsystem ein, ergibt sich

$\displaystyle t=-2P_1 P_1'(1-\cos \vartheta)=-\frac{s}{2}(1-\cos \vartheta),$ (43)

wo $ P_1=\vert\vec{p}_1\vert$ usw. bedeuten sollen. Daraus folgt für das Matrixelement

$\displaystyle \overline{\vert\mathcal{M}_{fi}\vert^2}=e^4(1+\cos^2 \vartheta)=16 \pi^2 \alpha^2 (1+\cos^2 \vartheta).$ (44)

Für den invarianten Streuquerschnitt6 liefert dies das wohlbekannte Resultat

$\displaystyle \frac{\dd \sigma}{\dd \Omega} = \frac{\alpha^2}{4 s} (1+\cos^2 \vartheta).$ (45)

Die Winkelabhängikeit ist charakteristisch für Spin-1/2-Teilchen. Der totale Streuquerschnitt ergibt sich durch Integration (mit $ x=\cos
\vartheta$ ) zu

$\displaystyle \sigma(s)=2 \pi \int_{-1}^1 \dd x \frac{\alpha^2}{4 s} (1+x^2) = \frac{4 \pi \alpha^2}{3s}.$ (46)

Die Resultate (45) und (46) stimmen gut mit Messungen der JADE-Kollaboration am DESY [B+85] überein. In diesem Paper werden die Abweichungen der Winkelverteilungen vom Resultat (45) aufgrund der schwachen Wechselwirkungen untersucht. Es werden dort auch QED-Korrekturen der nächsthöheren Ordnung $ \mathcal{O}(\alpha^3)$ berücksichtigt.




Nächste Seite: Elastische Elektronenstreuung Aufwärts: Beispiele Vorherige Seite: Beispiele   Inhalt
Hendrik van Hees 2016-10-26