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Elastische Elektronenstreuung

Als weiteres Beispiel betrachten wir noch die elastische Elektronenstreuung (Møller-Streuung) [Møl32]. In führender Ordnung mit ,,modernen`` Feynmanregeln gemäß Abb. 2 haben wir die beiden in Abb. 4 gezeigten Diagramme zu berücksichtigen.

Abbildung: Die Diagramme zur Møllerstreuung in führender Ordnung gemäß ,,moderner`` Feynmanregeln.
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{moeller-scattering}
Wie im vorherigen Abschnitt am Beispiel der $ e^+ e^- \rightarrow \mu^+
\mu^-$ -Vernichtung gezeigt, tragen die Terme $ \propto k^{\mu} U^{\nu}$ , $ \propto k^{\nu} U^{\mu}$ und $ k^{\mu} k^{\nu}$ im Photonpropagator (28) nicht zu den Amplituden bei, und wir können gleich den Feynman-Propagator (30) verwenden. Unter Berücksichtigung der Vorzeichenregel für das Austauschdiagram erhalten wir

\begin{displaymath}\begin{split}\frac{\ii}{e^2} \mathcal{M}_{fi}= &-\frac{\ii}{t...
...ar{u}(p_1',\sigma_1') \gamma_{\mu} u(p_2,\sigma_2). \end{split}\end{displaymath} (47)

Dabei haben wir wieder die Mandelstamvariablen

$\displaystyle t=(p_1'-p_1)^2=(p_2'-p_2)^2, \quad u=(p_1'-p_2)^2=(p_2'-p_1)^2$ (48)

eingeführt.

Zur Bildung der Spinsummen der betragsquadrierten Amplitude können wir wieder die üblichen Regeln für Diracmatrizen und die Spinsummenregeln (23) verwenden. Wir geben sogleich wieder das über die Spins im Anfangszustand (Endzustand) gemittelte (summierte) Resultat an

\begin{displaymath}\begin{split}\frac{1}{e^4} \overline{\vert\mathcal{M}_{fi}\ve...
...p}_1'+m)\gamma_{\mu} (\fslash{p}_2+m)\gamma_{\nu}]. \end{split}\end{displaymath} (49)

Dabei haben wir die Mandelstamvariablen

$\displaystyle t=(p_1-p_1')^2=(p_2-p_2')^2, \quad u=(p_1-p_2')^2=(p_2-p_1')^2$ (50)

eingeführt. Die Dirac-Spuren sind wieder schnell mit Hilfe des Computeralgebrapaketes Tracer berechnet. Im Schwerpunktsystem haben wir die folgenden Viererimpulse

$\displaystyle p_1=\begin{pmatrix}E \\ \vec{p} \end{pmatrix}, \quad p_2=\begin{p...
... \vec{p}' \end{pmatrix}, \quad p_2'=\begin{pmatrix}E\\ -\vec{p}' \end{pmatrix}.$ (51)

Dabei ist $ E=\sqrt{m^2+\vec{p}^2}=\sqrt{m^2+\vec{p}'{}^2}=\sqrt{m^2+P^2}$ . Wegen $ \vert\vec{p}\vert=\vert\vec{p}'\vert:=P$ ist nur noch der Streuwinkel $ \vartheta$ , der durch

$\displaystyle \vec{p} \vec{p}'=P^2 \cos \vartheta$ (52)

definiert ist, als weitere unabhängige Variable der Streukinematik frei festzulegen. Wir drücken im folgenden alle Größen durch $ E$ und $ \vartheta$ aus. Der differentielle Streuquerschnitt ergibt sich wieder aus der allgemeinen Formel aus [Hee02] zu

$\displaystyle \frac{\dd \sigma}{\dd \Omega}=\frac{\overline{\vert\mathcal{M}_{f...
...2)^2}{(2 \omega^2-m^2)^2} \left (\frac{4}{\sin^2 \vartheta}+1 \right ) \right].$ (53)

Betrachten wir noch den ultrarelativistischen und den nichtrelativistischen Limes $ \omega \gg m$ bzw. $ P^2=\omega^2-m^2 \ll m^2$ . Das ergibt

\begin{displaymath}\begin{split}\frac{\dd \sigma}{\dd \Omega} &\asy_{\omega \gg ...
...{3}{\sin^2 \vartheta}+\mathcal{O}(P^2/m^2) \right). \end{split}\end{displaymath} (54)

Wir sehen, daß dieser Ausdruck für $ P \rightarrow 0$ sowie für alle Schwerpunktsenergien für $ \vartheta \rightarrow 0,\pi$ divergiert. Ebenso divergiert der totale Streuquerchnitt. Dies rührt daher, daß die Photonen masselos sind, denn es ist gemäß (50) und (51)

$\displaystyle t=-2 P^2(1-\cos \vartheta), \quad u=-P^2(1+\cos \vartheta),$ (55)

und dies sind gerade die im Nenner des Photonpropagators auftretenden kinematischen Größen. Diese Infrarotdivergenzen lassen sich beseitigen, indem man die endliche Energieauflösung des Detektors berücksichtigt und bedenkt, daß aufgrund ihrer Masselosigkeit beliebig viele sehr weiche Photonen emittiert werden können, deren Gesamtenergie kleiner als die Energieauflösung des Detektors ist. Summiert man all diese Beiträge auf, erhält man ein endliches von der Energieauflösung des Detektors abhängiges Resultat für den gesamten Streuquerschnitt [BN37,Wei95]. Von dem divergenten kinematischen Bereich für $ \vartheta \rightarrow 0,\pi$ abgesehen, stimmt die Møllersche Formel (53) hervorragend mit dem gemessenen differentiellen Streuquerschnitt überein.




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Hendrik van Hees 2016-10-26