Heuristische Beschreibung der Oszillation

Wir versuchen nun die durch Abb. 1 angedeutete Möglichkeit der Teilchenoszillation ohne Zuhilfenahme eines bestimmten Modells, also allein aufgrund des quantenmechanischen Formlismus' zu verstehen.

Betrachten wir dazu zunächst einfach ein instabiles Teilchen, z.B. ein $\pi^+$. Wir interessieren uns jetzt nur für dieses Pion und nicht für seine Zerfallsprodukte. Zur Zeit $t=0$ liege ein Pion vor, d.h. der normierte Zustandsvektor des Pions ist zur Zeit $t=0$

$$\ket{\psi,t=0} = \ket{\pi^+}.$$ (4)

Da das Pion in andere Teilchen zerfällt, kann die Zeitentwicklung dieses Zustandes nicht unitär sein, d.h. im Schrödingerbild ist der Zustandsvektor der unzerfallenen Pionen zu einem späteren Zeitpunkt $t>0$ ist durch

$$\ket{\psi,t}=\exp \left [-\ii \left (m_{\pi} -\frac{\ii}{2} \Gamma_{\pi} \right ) t\right] \ket{\psi,t}$$ (5)

gegeben². Hierin ist $m_{\pi} \approx 139$   MeV die Masse des Pions und $\Gamma_{\pi}$ seine totale Zerfallsbreite. Die Wahrscheinlichkeit, das Pion nach der Zeit $t$ noch zu finden, ist dann

$$\braket{\psi,t}{\psi,t} = \exp(-\Gamma_{\pi} t).$$ (6)

Bei den Kaonen verhält es sich etwas komplizierter, da nach den obigen Überlegungen auch Übergänge von Kaonen zu Antikaonen möglich sind. Das bedeutet, daß der Schrödingerbild-Zustandsvektor im gemeinsamen Zustandsraum von Kaonen und Antikaonen anzusetzen ist, also eine beliebige Superposition aus Kaonen- und Antikaonenzuständen sein muß:

$$\ket{\psi,t} = \psi_1(t) \ket{\mathrm{K}^0} + \psi_2(t) \ket{\overline{\mathrm{K}^0}}.$$ (7)

Wegen $\braket{\overline{\mathrm{K}^0}}{\mathrm{K}^0}=0$ sind die Wahrscheinlichkeiten, ein Kaon bzw. Antikaon anzutreffen:

$$\left \vert\braket{\psi,t}{\mathrm{K^0}} \right\vert^2=\vert\psi_1(t)\vert^2 \left \langle {\psi,t} \left \vert {\overline{\mathrm{K}^0}} \right . \right \rangle = \vert\psi_2(t)\vert^2.$$ (8)

Wie beim Zerfall eines einzelnen Teilchens kann man die Zeitentwicklung des Kaonenzustands (7) näherungsweise durch eine nicht unitäre Zeitentwicklung beschreiben. Dies tun wir am bequemsten als Zeitentwicklung für die Amplituden, die wir zu $\C^2$-Spaltenvektoren zusammenfassen:

$$\psi(t):=\begin{pmatrix}\psi_1(t) \\ \psi_2(t) \end{pmatrix} = \exp(-\ii \mathcal{M} t) \psi(0),$$ (9)

wobei $\mathcal{M}$ eine nichthermitesche $\C^{2 \times 2}$-Matrix ist. Sie läßt sich freilich wie folgt durch hermitesche Matrizen ausdrücken:

$$\mathcal{M} = \op{M} - \frac{\ii}{2} \op{\Gamma}, \op{M}=\frac{1}{2} (\mathcal{M}+\mathcal{M}^{\dagger}), \quad \op{\Gamma} = \ii (\mathcal{M}-\mathcal{M}^{\dagger}).$$ (10)

Um die nichtunitäre Zeitentwicklungsmatrix in (9) berechnen zu können, müssen wir $\mathcal{M}$ diagonalisieren. Die Eigenwerte sind komplex. Wir schreiben für die Eigenwerte $M_s$ bzw. $M_l$

$$\mathcal{M} \ket{\mathrm{K}_s} = M_s \ket{\mathrm{K}_s}, \quad \mathcal{M} \ket{\mathrm{K}_l} = M_l \ket{\mathrm{K}_l},$$ (11)

wobei $M_s$ und $M_l$ komplexe Zahlen mit negativen Imaginärteilen sind:

$$M_s= \left (m_s-\frac{\ii}{2} \Gamma_s \right), \quad M_l= \left (m_l-\frac{\ii}{2} \Gamma_l \right) m_s,m_l \in \R, \quad \Gamma_s,\Gamma_0>0.$$ (12)

Da $\mathcal{M} = \op{T}^{-1}$   diag$(M_s,M_l)\op{T}$ mit einer i.a. nicht unitären Matrix $\op{T}$ ist, gilt i.a. $\braket{\mathrm{K}_s}{\mathrm{K_l}} \neq 0$. Wir legen diese beiden Zustände durch Normierung und geeignete Phasenwahl so fest, daß das $\braket{\mathrm{K}_s}{\mathrm{K_l}} \in \R$ ist:

$$\braket{\mathrm{K}_s}{\mathrm{K}_s} = \braket{\mathrm{K}_l}{\mathrm{K}_l} = 1, \quad \braket{\mathrm{K}_l}{\mathrm{K}_s} \geq 0.$$ (13)

Die $\mathcal{M}$-Eigenzustandsvektoren sind nun zwar nicht orthogonal, aber sie bilden immer noch eine Basis des Zweizustandssystems, d.h. wir können schreiben

$$\ket{\psi,t=0} = \psi_1(0) \ket{\mathrm{K}^0} + \psi_2(0) \ket{\overline{\mathrm{K}^0}} = c_s \ket{\mathrm{K}_s} + c_l \ket{\mathrm{K}_l}.$$ (14)

Wegen (9), (11) und (12) ist die Zeitentwicklung eines allgemeinen Anfangszustandes für das $\mathrm{K}^0$- $\overline{\mathrm{K}^0}$-System also durch

$$\ket{\psi,t}=\exp \left [-\ii \left (m_s - \frac{\ii}{2} \Gamma_s... ... [-\ii \left (m_l - \frac{\ii}{2} \Gamma_l \right) t \right ]\ket{\mathrm{K}_l}$$ (15)

gegeben.

Ein rein exponentieller Zerfall liegt nur dann vor, wenn entweder $c_l=1$ und $c_s=0$ oder $c_l=0$ und $c_s=1$ ist, also zur Zeit $t=0$ ein reiner $\mathcal{M}$-Eigenzustand vorliegt. Die Zerfallskonstanten sind $\Gamma_l$ und $\Gamma_s$. Wir setzen obdA. $\Gamma_s \geq \Gamma_l$, wobei dann $s$ und $l$ für ,,short'' und ,,long'' stehen, d.h. das Kaon bzw. Antikaon istdie Superposition eines längerlebigen und eines kürzerlebigen Anteils. Man nennt die entsprechenden Zustände im Teilchenphysikerslang ,,K-long'' und ,,K-short''.