Das Superweak-Modell

Wir wollen nun ein einfaches phänomenologisches Modell für die CP-Verletzung besprechen, das Superweak-Modell [Wol64].

Ein bekanntes Theorem der relativistischen Quantenfeldtheorie besagt, daß jede relativistisch invariante3 Quantenfeldtheorie, die lokal und kausal ist und deren Hamiltonoperator nach unten beschränkt ist, automatisch auch unter der ,,großen Spiegelungstransformation`` $ \op{CPT}$ invariant ist. Diese wird durch einen antiunitären Operator im Hilbertraum repräsentiert.

Wir benutzen diese Tatsache nun, um die Gestalt der Massenmatrix $ \mathcal{M}$ etwas genauer zu spezifizieren. Dazu schreiben wir die Massenmatrix bzgl. $ \op{CP}$-Eigenzuständen

$\displaystyle \mathcal{M}=\begin{pmatrix}\mathcal{M}_{++} & \Delta \mathcal{M}_{+-} \\ \Delta \mathcal{M}_{-+} & \mathcal{M}_{--} \end{pmatrix}.$ (18)

Gemäß (43) ist dann

$\displaystyle \Delta \mathcal{M}_{jk} = \matrixe{\mathrm{K}_{j}^0}{\op{H}{\grqq}}{\mathrm{K}_{k}^0}, \quad j,k \in \{+,-\}.$ (19)

Dabei soll $ \op{H}{\grqq}$ der CP-verletztende Anteil der Wechselwirkung sein, die von den ,,superschwachen Kraft`` herrührt. Die Diagonalelemente sind die vollständigen verallgemeinerten Massen $ M_l$ und $ M_s$ gemäß (12). Wir vernachlässigen dabei in (43) die Terme in höherer als erster Ordnung in $ \op{H}{\grqq}$.

Wählt man nun geeignete Phasen für die Zustände $ \ket{\mathrm{K}^0}$ und $ \ket{\overline{\mathrm{K}^0}}$, so gilt

$\displaystyle \op{CPT} \ket{\mathrm{K}^0} = \ket{\overline{\mathrm{K}^0}}, \quad \op{CPT}\ket{\overline{\mathrm{K}^0}} = \ket{\mathrm{K}^0}.$ (20)

Die $ \op{CPT}$-Invarianz der Gesamtwechselwirkung besagt dann, daß

$\displaystyle \matrixe{\mathrm{K}^0}{\mathcal{M}}{\mathrm{K}^0} = \matrixe{\overline{\mathrm{K}^0}}{\mathcal{M}}{\overline{\mathrm{K}^0}}.$ (21)

Schreiben wir die Flavoureigenzustände gemäß (16) als Linearkombinationen von CP-Eigenzuständen, folgt für die Massenmatrix

$\displaystyle \Delta \mathcal{M}_{+-}=-\Delta \mathcal{M}_{-+}.$ (22)

Da in der in (19) gegebenen Näherung $ \Delta \mathcal{M}_{jk}$ hhermitesch ist, muß also $ \Delta \mathcal{M}_{+-}$ rein imaginär sein.

Die Masseneigenwerte sind dann in niedrigster Ordnung im Entwicklungsparameter

$\displaystyle \epsilon=\frac{\Delta \mathcal{M}_{+-}}{\mathcal{M}_{++}-\mathcal{M}_{--}}$ (23)

durch

$\displaystyle M_s=\mathcal{M}_{++}, \quad M_{l} = \mathcal{M}_{--}, \quad \ket{...
...uad \ket{\mathrm{K}_l} = \ket{\mathrm{K}_-^0} + \epsilon_l \ket{\mathrm{K}_+^0}$ (24)

gegeben. Es ergibt sich daraus

$\displaystyle \epsilon_s=\epsilon_l = \epsilon=\frac{\Delta \mathcal{M}_{+-}}{M_l-M_s}.$ (25)

Durch Vergleich mit dem Experiment erhalten wir für $ \Delta \mathcal{M}_{+-}$ einen positiv imaginären Wert mit

$\displaystyle \vert\Delta \mathcal{M}_{+-}\vert \approx 3 \cdot 10^{-3} (m_l-m_s) \approx 10^{-14}$   MeV$\displaystyle .$ (26)

Die Superweak-Wechselwirkungsenergie ist also noch um einen Faktor 1000 kleiner als die von der schwachen Wechselwirkung herrührende Massendifferenz der lang- und kurzlebigen Kaonen.

Heutzutage erklärt man die CP-Verletzung im Rahmen des Standardmodells als ein Prozeß höherer Ordnung (,,Box-Diagramm``). Die CP-verletzenden Terme der Massenmatrix $ \Delta \mathcal{M}_{+-}$ ergeben sich dabei aus einer Phase in der sog. Cabibbo-Kobayashi-Maskawa-Matrix, welche die Mischung der Quark-Masseneigenzustände zu den Quark-Flavoureigenzuständen beschreibt. Ob das Standardmodell tatsächlich die gemessene CP-Verletzung korrekt widergibt, ist noch unentschieden. Das theoretische Problem ist die genaue Ermittlung der Wellenfunktionen der neutralen Kaonen aus der Quantenchromodynamik (QCD), welche die starke Wechselwirkung beschreibt. Experimentell ist das Problem die genaue Bestimmung der Mischnungsstärke $ \mathrm{b} \rightarrow \mathrm{u}$ (Bottom-Quark zu Up-Quark), ein Übergang der noch nicht gefunden wurde. Falls genauere Experimente die obere Schranke für diese Übergangsstärke eines Tages weiter nach unten drücken sollten, kann es sein, daß mit dem elektroschwachen Standardmodell die CP-Verletzung nicht mehr erklärt werden kann. Dies ist bis heute allerdings nicht der Fall.