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Die Wigner-Weisskopf-Näherung

In diesem Anhang wollen wir die quantentheoretische Begründung der in (9) eingeführten nichtunitären Massenmatrix geben. Wir folgen wieder der Darstellung in [Nac86], weichen aber weiter unten ein wenig davon ab, um die Natur der Näherungen besser zu verstehen.

Dazu denken wir uns den Hamiltonoperator für die Elementarteilchen in einen Anteile aufgespalten, die zur starken bzw. schwachen Wechselwirkung gehören:

$\displaystyle \op{H} = \op{H}_0 + \op{H}'.$ (27)

Wir betrachten nun den Zerfall von diskreten entarteten $ \op{H}_0$-Eigenzuständen $ \ket{\alpha}$ zum Eigenwert $ E_0$. Wir haben hierbei insbesondere ruhende neutrale Kaonen und Antikaonen im Blick. Wir fragen nun nach dem Zerfall dieser Zustände in irgendwelche anderen Teilchen. I.a. werden dies Vielteilchenzustände $ \ket{\beta}$ mit kontinuierlichen $ \op{H}_0$-Eigenwerten $ E_{\beta}$ sein.

Wigner und Weisskopf haben eine einfache Methode gefunden, zum gleichen Resultat zu gelangen, die ausschließlich auf quantentheoretischen Grundlagen beruht, ohne daß man ein bestimmtes quantenfeldtheoetisches Modell benutzen muß.

Dazu gehen wir ins Wechselwirkungsbild bzgl. $ \op{H}'$ über. Wir bezeichnen die Operatoren im Schrödinger-Bild mit $ \op{O}_S$. Diese Operatoren sind definitionsgemäß zeitunabhängig (es sei denn es liegt eine explizite Zeitabhängigkeit vor). Insbesondere sind $ \op{H}_{0S}$ und $ \op{H}_S'$ zeitunabhängig. Aus Konvergenzgründen schreiben wir jedoch

$\displaystyle \op{H}_S'(t) = \exp(\eta t) \op{H}_S'.$ (28)

Dabei ist $ \eta>0$. Wir stellen uns die schwache Wechselwirkung also ab $ t
\rightarrow -\infty$ langsam eingeschaltet vor. Am Schluß der Rechnung nehmen wir $ \eta \rightarrow 0$. Hier ist $ \eta$ eine Art Regularisierungsparameter, den wir ab der zweiten Ordnung Störungstheorie benötigen, wenn wir das hier gestellte Problem lösen wollen: Die Berechnung der ,,Entvölkerung'' von Energieeigenzuständen bzgl. $ \op{H}_0$ aufgrund einer gegen $ \op{H}_0$ kleinen Störung $ \op{H}'$. Für den Fall, daß wir nur Übergangsmatrixelemente zwischen Zuständen verschiedener Energie berechnen wollen, benötigen wir diese Methode des ,,adiabatic switching'' nicht, jedoch liefert sie das gleiche Resultat wie die naive zeitabhängige Störungsrechnung ohne Regulator.

Wir gelangen nun vom Schrödingerbild zum Wechselwirkungsbild, indem wir eine zeitabhängige unitäre Transformation der Operatoren und Zustände vornehmen:

$\displaystyle \ket{\psi,t}= \exp(-\ii \op{H}_{0} t) \ket{\psi,t}_S, \quad \op{H...
...(\ii \op{H}_0 t) \op{H}_S' \exp(-\ii \op{H}_0 t), \quad \op{H}_0 = \op{H}_{0S}.$ (29)

Die Schrödingerzustände genügen der Zeitentwicklungsgleichung

$\displaystyle \ii \partial_t \ket{\psi,t} = \op{H}_S \ket{\psi,t}_S.$ (30)

Daraus folgt wegen (27) und (29) für die Zustände im Wechselwirkungsbild

$\displaystyle \ii \partial_t \ket{\psi,t} = \op{H}'(t) \ket{\psi,t}.$ (31)

Wir können nun jeden Hilbertraumvektor, also auch den gemäß dem Wechselwirkungsbild zeitabhängigen Zustandsket, nach dem vollständigen orthonormierten Satz der $ \op{H}_0$-Eigenzustände entwickeln:

$\displaystyle \ket{\psi,t} = \sum_{\alpha=1}^n a_{\alpha}(t) \ket{\alpha} + \sum_{\beta} b_{\beta}(t) \ket{\beta}.$ (32)

Dabei haben wir der Einfachheit halber auch für die kontinuierlichen Zustände eine Summe geschrieben, obwohl eigentlich ein Integral gemeint ist. Man kann sich etwa vorstellen, daß man ein großes ,,Quantisierungsvolumen'' einführt und dadurch ein vollständig diskretes Energiespektrum erhält. Dann kann man sich die Kontinuumszustände im Limes eines unendlichen Quantisierungsvolumens vorstellen. Diese Betrachtung ist auch für die Streutheorie und die Definition der $ S$-Matrix nützlich (vgl. dazu [Hee02]).

Die $ \op{H}_0$-Eigenzustände sind nun zeitunabhängig, da $ \op{H}_0=\op{H}_{0S}$ zeitunabhängig ist. Bilden der Zeitableitung von (32), Anwendung der Bewegungsgleichung (30) und Multiplizieren der entstehenden Gleichung mit mit $ \bra{\alpha}$ bzw. $ \bra{\beta}$ liefert das folgende Differentialgleichungssystem für die Koeffizienten $ a_{\alpha}$ und $ b_{\beta}$:

$\displaystyle \dot{a}_{\alpha}(t)$ $\displaystyle = -\ii \exp(\eta t) \sum_{\alpha'=1}^n H_{\alpha \alpha'}' a_{\al...
...\eta t) \sum_{\beta'} \exp[\ii (E_0-E_{\beta}) t] H_{\alpha \beta'}' b_{\beta'}$ (33)
$\displaystyle \dot{b}_{\beta}(t)$ $\displaystyle = -\ii \exp(\eta t)\sum_{\alpha'} \exp[\ii(E_{\beta}-E_0) t] H_{\...
...t) \sum_{\beta'} \exp[\ii (E_{\beta}-E_{\beta'})t] H_{\beta \beta'}' b_{\beta'}$ (34)

Dabei haben wir die Matrixelemente (ohne den ,,Switching factor'' $ \exp(\eta t)$) des Störhamiltonoperators $ \op{H}'$ im Schrödingerbild eingeführt:

$\displaystyle H_{\gamma \gamma'}' = \matrixe{\gamma}{\op{H}_S'}{\gamma'}, \quad \gamma,\gamma' \in \{\alpha,\beta \}.$ (35)

Diese sind zeitunabhängig, so daß auf der rechten Seite der Gleichungen (33) und (34) nur die Exponentialfunktionen und die gesuchten Koeffizienten $ a_{\alpha}$ und $ b_{\beta}$ zeitabhängig sind.

Die Wigner-Weisskopfnäherung ergibt sich nun in zwei Schritten:

Die Anfangsbedingungen unseres Problems sind nun die folgenden: Bei $ t=t_0$ soll nur ein Teilchen, dessen Zerfall wir betrachten wollen, vorhanden sein (also ein Kaon oder Antikaon), d.h. es ist

$\displaystyle a_{\alpha}(t_0)=\psi_{\alpha}^{0}, \quad b_{\beta}(t_0)=0.$ (36)

Unter Berücksichtigung dieser Anfangsbedingungen läßt sich bei Vernachlässigung der $ \beta'$-Summe in (34) diese Gleichung in eine Integralgleichung umformen:

$\displaystyle b_{\beta}(t) = -\ii \exp(\eta t)\int_{t_0}^t \d t' \sum_{\alpha'} \exp[\ii(E_{\beta}-E_0)] H_{\beta \alpha'} a_{\alpha'}(t').$ (37)

Das Weglassen der schwachen Wechselwirkung der Zerfallsprodukte untereinander ist die erste Näherung. Dies in die ebenfalls mit $ \int_0^t \d t'$ integrierte Gleichung (33) eingesetzt ergibt schließlich ein Integralgleichungssystem für die endlich vielen Koeffizienten $ a_{\alpha}$:

\begin{displaymath}\begin{split}a_{\alpha}(t) = & \psi_{\alpha}^0 -\ii \int_{t_0...
...\alpha \beta}' H_{\beta \alpha'}' a_{\alpha'}(t_2). \end{split}\end{displaymath} (38)

Wir können durch Iteration eine Reihe in Matrixelementen $ H'_{\gamma
\gamma'}$ mit $ \gamma,\gamma' \in \{\alpha,\beta\}$ gewinnen. Dabei wenden wir nun die Idee des ,,adiabatic switching'' an und nehmen die untere Grenze der Integrale $ t_0 \rightarrow -\infty$. Dann ist

\begin{displaymath}\begin{split}a_{\alpha}(t) = & \psi_{\alpha}^0 -\frac{\ii \ex...
... \alpha''}' H_{\alpha'' \alpha'}' \psi_{\alpha'}^0. \end{split}\end{displaymath} (39)

Leiten wir dies wiederum nach der Zeit ab, folgt

\begin{displaymath}\begin{split}\dot{a}_{\alpha}(t) = & -\ii \exp(\eta t) \sum_{...
... \alpha''}' H_{\alpha'' \alpha'}' \psi_{\alpha'}^0. \end{split}\end{displaymath} (40)

Nun läßt sich $ \psi_{\alpha'}^0$ durch Invertierung von (39) abgesehen von Beiträgen in zweiter und höherer Ordnung in den Matrixelementen $ H'$ durch die $ a_{\alpha}(t)$ ausdrücken:

$\displaystyle \psi_{\alpha}^0 = a_{\alpha}(t) + \frac{\ii \exp(\eta t)}{\eta} \sum_{\alpha \alpha'} H_{\alpha \alpha'} a_{\alpha'}(t).$ (41)

Dies reicht aus, um (40) bis hin zu Größen zweiter Ordnung in $ H_{\alpha \beta}'$ und $ H_{\alpha \alpha'}'$ durch eine für $ \eta \rightarrow 0$ endliche Gleichung ausdrücken:

$\displaystyle \dot{a}_{\alpha} \asy_{\eta \rightarrow 0} = -\ii \sum_{\alpha'} \Delta \mathcal{M}_{\alpha \alpha'} a_{\alpha'}$ (42)

mit der ,,Massenkorrekturmatrix''

$\displaystyle \Delta \mathcal{M}_{\alpha \alpha'} = H_{\alpha \alpha'}' + \math...
... \pi \sum_{\beta} \delta(E_0 - E_{\beta}) H_{\alpha \beta}' H_{\beta \alpha'}'.$ (43)

Dabei bezeichnet $ \mathscr{P}$ den Cauchyschen Hauptwert des Integrals5. Es wurde dabei die wichtige Formel

$\displaystyle \int \d x \frac{f(x)}{x-x_0 + \ii \eta} \asy_{\eta \rightarrow 0} - \ii \pi f(x_0) + \mathscr{P} \int \d x \frac{f(x)}{x-x_0}$ (44)

verwendet, die für jede Funktion stetige im Unendlichen hinreichend schnell fallenden Funktion $ f: \R \rightarrow \R$ gilt, die in einer Umgebung von $ x_0$ zu einer komplexen Funktion analytisch fortsetzbar ist. Für endliches $ \eta$ definiert dann das Integral auf der linken Seite offenbar eine komplexe Funktion $ F(x_0)$, die in der ganzen oberen Halbebene analytisch ist. Wir können dabei für hinreichend kleine $ \eta$ den Integrationsweg deformieren, indem wir statt entlang der reellen Achse entlang der Kontur $ \mathscr{C}$ integrieren, die in Abb. 2 gezeichnet ist.
Abbildung 2: Kontur zum Beweis von (44).
\begin{figure}\centering {%
\input{contour.pstex_t}}\end{figure}
Das Integral entlang des kleinen Halbkreises $ K_{\eta}$ berechnen wir mittels einer konkreten Parametrisierung desselben:

$\displaystyle K_{\eta}: \; x(t) = x_0-\eta \exp(-\ii t), \, \rightarrow \, \int...
...{\pi} \d t f[x_0 - \eta \exp(-\ii t)] \asy_{\eta \rightarrow 0} \ii \pi f(x_0).$ (45)

Weiter ist die Definition des Hauptwertes

$\displaystyle \mathscr{P} \int \d x \frac{f(x)}{x-x_0} = \lim_{\eta \rightarrow...
...\frac{f(x)}{x-x_0} + \int_{x_0+\eta}^{\infty} \d x \frac{f(x)}{x-x_0} \right ],$ (46)

was dem Integral entlang dem Rest von $ \mathscr{C}$ für $ \eta \rightarrow
0_+$ entspricht.

Betrachten wir nun wieder den Zustand im Schrödingerbild, folgt

$\displaystyle \braket{\alpha}{\psi,t}_{S} = a_{\alpha}(t) \exp(-\ii E_0),$ (47)

sehen wir, daß unsere unhermitesche Massenmatrix, die wir in (9) eingeführt haben, in dieser Näherung durch

$\displaystyle \mathcal{M}_{\alpha \alpha'} = E_0 + \Delta \mathcal{M}_{\alpha \alpha'}$ (48)

gegeben ist. Insbesondere folgt aus der Hermitezität von $ H_{\alpha \beta}'$ die positive Definitheit des antihermiteschen Anteils gemäß (10):

$\displaystyle \frac{1}{2} \Gamma_{\alpha \alpha'} = \pi \sum_{\beta} H_{\alpha \beta} H_{\beta \alpha'} \delta(E_0-E_{\beta}).$ (49)




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