Diedergruppen

Betrachten wir nun die Menge aller Deckbewegungen der regulären $n$-Ecks.

Wir wollen nun wieder mit $d^{k}$ die $k$-fache Drehung des $n$-Ecks um den Winkel $2\pi \over{n}$ bezeichnen und mit $s$ eine Spiegelung an einer festen Spiegelachse. Im Folgenden werden wir mit $s$ die Spiegelung an der Spiegelachse durch den Punkt $p_{1}$ und den Umkreismittelpunkt unseres $n$-Ecks bezeichnen.

Betrachten wir nur die Drehungen $d^{k}$ um den Mittelpunkt, so erkennen wir eine Drehgruppe wieder; für die Drehungen gelten also die beiden Regeln, die wir im vorherigen Abschnitt aufgeführt haben.

Darüberhinaus erkennen wir, dass $s^{2}=e$, da zwei Spiegelungen an einer festen Achse das $n$-Eck unberührt lassen.

Wir können alle Spiegelungen an den Symmetrieachsen auf eine Drehung und eine Spiegelung an einer festen Symmetrieachse zurückführen, da eine Spiegelung nur den Drehsinn des $n$-Ecks ändert und wir deshalb das an einer festen Achse gespiegelte $n$-Eck einfach durch eine Drehung mit dem an einer anderen Achse gespiegelten $n$-Eck zur Deckung bringen können. Hier erkennen wir, dass $s\circ d^{k}=d^{-k}\circ s=d^{n-k}\circ s$.

Insbesonders mit unserer festen Spiegelung $s$ können wir jede Spiegelung darstellen, indem wir unser $n$-Eck zunächst so drehen, dass der Punkt $p_{1}$ an der Stelle steht, an der wir ihn auch nach der Spiegelung haben wollen. Die Spiegelung $s$ (durch $p_{1}$ und den Mittelpunkt des $n$-Ecks) lässt dabei $p_{1}$ fix, da dieses sich ja auf der Spiegelachse befindet. Die restlichen Punkte sind danach eindeutig durch den Drehsinn, der sich durch die Spiegelung geändert hat, festgelegt.

Nun stellt sich die Frage, ob diese Menge von Deckbewegungen die Gruppenaxiome bezüglich der Hintereinanderausführung erfüllt.

1. Abgeschlossenheit.
   Einen Teil des Nachweises haben wir schon bei den Drehgruppen gebracht. Nun wollen wir nur noch zeigen, dass
   1. $(d^{k}\circ s)\circ (d^{l}\circ s)\in D_{n}$ und dass
   2. $d^{k}\circ (d^{l}\circ s)\in D_{n}$
   für $k$ und $l$ mit $0\leq k\leq n$ und $0\leq l\leq n$. $(d^{k}\circ s)\circ d^{l} \in D_{n}$ folgt direkt aus $d^{k}\circ (d^{l}\circ s)\in D_{n}$.

   Zu a)
   $d^{k}\circ (d^{l}\circ s)=(d^{k}\circ d^{l})\circ s=d^{k+l}\circ s$.
   $d^{k+l}\circ s$ liegt aber in $D_{n}$, da $d^{k+l}\in D_{n}$ für $0\leq k+l \leq n$ und für $k+l\geq n$ gilt $d^{k+l}=d^{k+l-n}$, welches wegen $k\leq n$ und $l\leq n$ kleiner als $2n$ ist.
   Zu b)
   $(d^{k}\circ s)\circ (d^{l}\circ s)=d^k\circ (s\circ d^{l})\circ s= d^{k}\circ d^{-l}\circ s\circ s=d^{k}\circ d^{-l}=d^{k-l}\in D_{n}$

2. Assoziativität.
   Der Beweis, den wir beim Nachweis des Assoziativgesetzes bei den Drehgruppen geführt haben, lässt sich hier auch ohne Weiteres anwenden.
3. Existenz eines neutralen Elements.
   Die Drehung $d^{0}$ um $0^{\circ}$ um den Mittelpunkt lässt das Dreieck fest.
4. Existenz inverser Elemente.
   Wir haben auch hier bei den Drehgruppen schon eine gewisse Vorarbeit geleistet. Jetzt brauchen wir uns nur noch um die Inversen zu $d^{k}\circ s$ kümmern. Es sticht ins Auge, dass $(d^{k}\circ s)\circ (d^{k}\circ s)= d^{k}\circ (s\circ s)\circ d^{-k}=d^{k-k}=d^{0}=e$, also dass eine Spiegelung ihr eigenes Inverses ist, was auch rein intuitiv klar ist.

Definition 9   Die Diedergruppe $D_{n}$ ist die Gruppe der $n$ Drehungen und $n$ Spiegelungen der Ebene, die ein reguläres $n$-Eck in sich überführen.