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Der aperiodische Grenzfall: $\alpha=\omega$

Bei diesem Fall ergibt sich das Problem, daß (10) hier nur ein Fundamentalsystem liefert (nämlich $\lambda=-\alpha$), zur Lösung jedoch i.A. zwei benötigt werden. Um diesem Dilemma zu entgehen, wenden wir hier das Verfahren der Variation der Konstanten an, d.h., wir lassen die vormalige Konstante vor dem Exponentialausdruck nun ebenfalls von der Zeit abhängen:


\begin{displaymath}
x(t)=A(t) e^{-\alpha t}
\end{displaymath} (20)

was uns nach Einsetzen in (7) auf


\begin{displaymath}
\frac{d^2 A}{dt^2}+(\omega_0^2-\alpha^2)A=\frac{d^2 A}{dt^2}=0
\end{displaymath} (21)

führt. Die Lösung hierfür ist anschaulicherweise


\begin{displaymath}
A(t)=a+bt
\end{displaymath} (22)

Dies wiederum führt uns analog zu (13) auf


\begin{displaymath}
x(t)=ae^ {-\alpha t}+bte^{-\alpha t}
\end{displaymath} (23)

Zusammen mit der Ableitung dieser allgemeinen Lösung


\begin{displaymath}
\frac{dx}{dt}=-\alpha ae^{-\alpha t} + be^{-\alpha t} -\alpha bte^{-\alpha
t}
\end{displaymath} (24)

sowie gegebenen Anfangsbedingungen, läßt sich auch hier wieder die spezielle Lösung berechnen. Setzen wir wieder $x(0)=0$ und $\frac{dx}{dt}\vert _0=0$, so ergibt sich:


\begin{displaymath}
x(0)=a=0
\end{displaymath} (25)


\begin{displaymath}
\frac{dx}{dt}\vert=b=v_0
\end{displaymath} (26)

Und damit


\begin{displaymath}
x(t)=v_0 te^{-\alpha t}
\end{displaymath} (27)




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