Der einfachste Fall

Der allereinfachste Fall ist, wie oben angedeutet, die gewöhnliche, aus der Schule bekannte Integration. Genauer, das Integral ist bereits die Lösung dieser einfachsten Dgl:

$$\frac{dF}{dx}-f=0$$ (1)

Die Lösung, also die Formel, die $F$ beschreibt, lautet bekanntermaßen:

$$F=\int fdx + C$$ (2)

Diese Lösung ist nun allerdings nur bis auf eine beliebige Konstante $C$ genau bestimmt. Und dies ist bereits eines der Hauptmerkmale von Dgl. Ohne weitere Angaben sind sie nicht eindeutig lösbar. Diese weiteren Angaben werden i.A. als Randbedingungen oder Anfangsbedingungen bezeichnet.
Ein einfaches Beispiel hierzu: Ein Körper bewegt sich mit der Geschwindigkeit $v(t)$. An welchem Ort befindet er sich zur Zeit $t$?

$$x(t)=\int v(t)dt +x_0$$ (3)

Ohne weitere Kenntnis der Konstanten $x_0$ ist die Angabe des Ortes nicht möglich. Daher muß als Anfangsbedingung für $x_0$ der Ort zur Zeit $t=0$ gewählt werden. Erst dann ist eine exakte Lösung möglich.