Arten von Differentialgleichungen

Die beiden großen Arten von Dgl. sind einerseits die gewöhnlichen Dgl. und andererseits die partiellen Dgl. Bereits aus dem Namen ist ersichtlich wo hier der Unterschied liegt: Partielle Dgl. sind Dgl., in denen partielle Ableitungen nach verschiedenen Variablen der Funktion vorkommen. Beispiele hierfür sind

1. Die Wellengleichung $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=Q(x,t)$

2. Die Wärmeleitgleichung $\frac{\partial u}{\partial t}-a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=Q(x,t)$

3. Die Schrödingergleichung $i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}$
Bei diesen drei Gleichungen handelt es sich auch schon fast um alle part. Dgl., die analytisch exakt lösbar sind. Bei der Mehrheit der part. Dgl. kann man die Lösung nur numerisch errechnen. Zur Lösung obiger Gleichungen, sowie zur numerischen Berechnung der übrigen part. Dgl. sei der geneigte Leser auf die einschlägige Fachliteratur verwiesen.
Anders sieht es dagegen bei den sog. gewöhnlichen Dgl. aus. Von diesen sind viele analytisch exakt lösbar. Dies soll auch die Hauptaufgabe dieses Skriptes sein: der Weg zur Lösung einer gew. Dgl., und zwar den...