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Aufstellen der Differentialgleichung

Betrachten wir eine masselose Feder mit einer Masse $m$ am unteren Ende. Welche Kräfte wirken nun auf sie? Als erstes natürlich eine bestimmte Kraft $F_a$. Diese wird benötigt, um das System überhaupt in Schwingung zu versetzen, denn durch irgendwas muß die Feder ja ausgelenkt werden. Weiterhin wirkt eine gewisse Reibungskraft $F_r$. Diese bremst das System proportional zu seiner Geschwindigkeit ab. Als letztes noch die rücktreibende Kraft der Feder selbst $F_f$. Sie geht linear mit der Auslenkung der Feder von der Ruhelage. Als Gesamtkraft erhält man nun:


\begin{displaymath}
F_{ges}=F_a+F_r+F_f
\end{displaymath} (4)


Da keine äußeren Kräfte wirken sollen, folgt aus Newton III, daß $F_{ges}$ verschwindet, also


\begin{displaymath}
F_a+F_r+F_f=0
\end{displaymath} (5)

Um nun hieraus eine Dgl. zu formen, brauchen wir für $F_a$, $F_r$ und $F_f$ nur die entsprechenden physikalischen Formeln einzusetzen. Für die auslenkende Kraft $F_a$ wählen wir ganz allgemein nach Newton II $F_a=m \frac{d^2x}{dt^2}$, für die Reibungskraft setzen wir $F_r=2\beta\frac{dx}{dt}$ mit dem Reibungskoeffizienten $\beta$. Für die rücktreibende Federkraft gilt nach den allg. Gesetzen der Mechanik $F_f=kx$ mit Federkonstante $k$. Mit diesen Werten wird (5) zu


\begin{displaymath}
m\frac{d^2x}{dt^2}+2\beta\frac{dx}{dt}+kx=0
\end{displaymath} (6)


Diese Gleichung ist nun auch schon alles, was hinter der so unglaublich kompliziert klingenden Kapitelüberschrift steckt. So schwer sieht sie doch nun wirklich nicht aus, oder?




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