Vorarbeiten

Um nun den harm. Oszillator zu lösen, d.h. diejenige Funktion $x(t)$ zu berechnen, welche (6) erfüllt, gehen wir folgendermaßen vor:

Als erstes teilen wir (6) durch $m$. Dies hat zwei gute Gründe: einmal verschindet das lästige $m$ im ersten Term, zweitens gilt für Federn $\frac{k}{m}=\omega_0^2$, d.h., wir bekommen dadurch gleich einen Ausdruck für die Eigenfrequenz des Systems:

$$\frac{d^2x}{dt^2}+2\alpha\frac{dx}{dt}+\omega_0^2x=0$$ (7)

Hierbei haben wir $\alpha:=\frac{\beta}{m}$ gesetzt.
Man kann nun durch den Ansatz einer Reihenentwicklung

$$x(t)=\sum_i a_i t^i$$ (8)

versuchen, die Struktur von $x(t)$ herauszufinden. Der genaue Weg würde hier zu weit führen und ist in vielen Büchern nachzulesen. Jedenfalls führt dieser Versuch zu der Annahme, daß sich $x(t)$ als Exponentialfunktion darstellen läßt:

$$x(t)=e^{\lambda t}$$ (9)

Nun gilt es, das $\lambda$ genauer zu bestimmen. Dazu setzen wir (9) in (7) ein, und erhalten:

$$(\lambda^2 + 2\alpha\lambda + \omega_0^2)e^{\lambda t}=0$$ (10)

Da dies für alle $t$ gelten muß und $e^{\lambda t}$ nie 0 wird, brauchen wir nur die Klammer zu beachten. Diese stellt eine gewöhnliche quadratische Gleichung in $\lambda$ dar. Nach der bekannten Lösungsformel erhalten wir:

$$\lambda_{1/2}=-\alpha\pm\sqrt{\alpha^2-\omega_0^2}$$ (11)

Zuerst bemerken wir, daß es zwei verschiedene $\lambda$ gibt. Diese stellen ein Fundamentalsystem dar, die Lösung der Dgl. ist eine Linearkombination von $\lambda_1$ und $\lambda_2$. Außerdem müssen wir spätestens jetzt drei Fälle unterscheiden: $\alpha<\omega$, $\alpha=\omega$ und $\alpha>\omega$.