Der Fall schwacher Dämpfung: $\alpha<\omega$

In diesem Fall wird der Term unter der Wurzel negativ, $\lambda_1$ und $\lambda_2$ also komplex. Wir benennen zuerst einmal die Wurzel neu:

$$i\omega:=\sqrt{\alpha^2-\omega_0^2}$$ (12)

Mit dieser Definition erhalten wir folgende Lösungsfunktion:

$$x(t)=Ae^{(-\alpha+i\omega)t}+Be^{(-\alpha-i\omega)t}$$ (13)

Und damit sind wir auch schon bei der sog. allgemeinen Lösung der Dgl. angelangt. Ohne die in (1.1.1) erwähnten Anfangsbedingungen können die beiden Konstanten $A$ und $B$ nicht näher bestimmt werden. Richtige Anfangsbedingungen hierzu sind in diesem Fall der Ort und die Geschwindigkeit der Masse zu einer bestimmten Zeit $t_0$.
Wählen wir also z.B. $x(t_0)=0$ und $\frac{dx}{dt}\vert _{t_0}=v_0$. Das heißt, wir tun so, als würden wir die Geschwindigkeit der Feder in der Gleichgewichtslage (x=0) kennen, nämlich $v_0$. Sinnigerweise setzen wir auch noch $t_0=0$. Dann folgt also aus (13):

$$x(0)=A+B=0$$ (14)

Sowie aus der Ableitung von (13):

$$\frac{dx}{dt}\vert _0=A(-\alpha+i\omega)+B(-\alpha-i\omega)=v_0$$ (15)

Dies sind nun zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten, also ein hervoragend einfaches Problem. Beispielsweise folgt aus (14) $B=-A$. Dies setzen wir in (15) ein, und erhalten:

$$A(-\alpha+i\omega)-A(-\alpha-i\omega)=v_0$$ (16)

Nach $A$ aufgelöst erhalten wir:

$$A=-\frac{v_0}{(-\alpha+i\omega)(-\alpha-i\omega)}=\frac{v_0}{2i\omega}$$ (17)

Eingesetzt in (13) ergibt sich nun:

$$x(t)=\frac{v_0}{2i\omega}e^{(-\alpha+i\omega)t}-\frac{v_0}{2... ...frac{v_0}{2i\omega}e^{-\alpha t}(e^{i\omega t}-e^{-i\omega t})$$ (18)

Der Ausdruck in Klammern ergibt zusammen mit $\frac{1}{2i}$ gerade die Exponentialform des Sinus, so daß wir insgesamt erhalten:

$$x(t)=e^{-\alpha t}\frac{v_0}{\omega} \sin \omega t$$ (19)

Dies ist nun die sog. spezielle Lösung der Differentialgleichung