Dreidimensionale Vektoranalysis (Kugelkoordinaten)

Kugelkoordinaten $(r,\vartheta,\varphi)$ definieren wir bzgl. kartesischer Koordinaten durch

$$\begin{split}\vec{x}&=r [\sin \vartheta (\vec{e}_1 \cos \varp... ...\vartheta \in (0,\pi), \quad \varphi \in [0,2 \pi). \end{split}$$ (B.1.13)

Man beachte, daß die Kugelkoordinaten entlang der 3-Achse ( $\vartheta=0, \pi$ oder $r=0$ ) singulär sind. Die orthonormale Koordinatenbasis ist durch

$$\vec{e}_r=\vvv{\sin \vartheta \cos \varphi}{\sin \vartheta \sin \... ...{-\sin \vartheta}, \quad \vec{e}_{\varphi}=\vvv{-\sin \varphi}{\cos \varphi}{0}$$ (B.1.14)

gegeben. Durch Kugelkoordinaten ausgedrückt lauten die Differentialoperatoren

$$\vec{\nabla} \Phi =\vec{e}_r \frac{\partial \Phi}{\partial r} + \vec{e}_{\vartheta}... ...e}_{\varphi} \frac{1}{r \sin \vartheta} \frac{\partial \Phi}{\partial \varphi},$$ (B.1.15)

$$\vec{\nabla} \cdot \vec{A} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial(r^2 A_{r})}{\partial r} + \frac{1}... ...ta} + \frac{1}{r \sin \vartheta} \frac{\partial A_{\varphi}}{\partial \varphi},$$ (B.1.16)

$$\vec{\nabla} \times \vec{A} = \vec{e}_r \frac{1}{r \sin \vartheta} \left [ \frac{\partial(\si... ...tial \varphi} - \frac{1}{r} \frac{\partial(r A_{\varphi})}{\partial r} \right ]$$

$$\quad + \vec{e}_{\varphi} \frac{1}{r}\left[\frac{\partial (r A_{\vartheta})}{\partial r}-\frac{\partial A_r}{\partial \vartheta} \right ],$$ (B.1.17)

$$\Delta \Phi = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left (r^2 \frac{\par... ...t ) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \vartheta} \frac{\partial^2 \Phi}{\partial \varphi^2}$$

$$=\frac{1}{r} \frac{\partial^2}{\partial r^2} (r \Phi) + \frac{1}{... ... ) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \vartheta} \frac{\partial^2 \Phi}{\partial \varphi^2}.$$ (B.1.18)