Dreidimensionale Vektoranalysis (Zylinderkoordinaten)

Zylinderkoordinaten $(r,\varphi,\vartheta)$ definieren wir bzgl. kartesischer Koordinaten durch

$$\vec{x}=\vvv{r \cos \varphi}{r \sin \varphi}{z}, \quad r \in \R_{>0}, \quad \varphi \in [0,2 \pi), \quad z \in \R.$$ (B.1.19)

Die Zylinderkoordinaten sind entlang der 3-Achse singulär ($r=0$ ). Die orthonormale Koordinatenbasis ist durch

$$\vec{e}_r=\vvv{\cos \varphi}{\sin \varphi}{0}, \quad \vec{e}_{\varphi}=\vvv{-\sin \varphi}{\cos \varphi}{0}, \quad \vec{e}_z=\vvv{0}{0}{1}$$ (B.1.20)

gegeben. Die Differentialoperatoren in Zylinderkoordinaten lauten

$$\vec{\nabla} \Phi =\grad \Phi = \vec{e}_r \frac{\partial \Phi}{\partial r} + \vec{e... ...\partial \Phi}{\partial \varphi} + \frac{\partial \Phi}{\partial z} \vec{e}_{z}$$ (B.1.21)

$$\vec{\nabla} \cdot \vec{A} = \div \vec{A} = \frac{1}{r} \frac{\partial (r A_r)}{\partial r} ... ...frac{\partial A_{\varphi}}{\partial \varphi} + \frac{\partial A_z}{\partial z},$$ (B.1.22)

$$\vec{\nabla} \times \vec{A} = \rot \vec{A} = \vec{e}_r \left [\frac{1}{r} \frac{\partial A_z}... ...al(r A_{\varphi})}{\partial r} - \frac{\partial A_r}{\partial \varphi} \right],$$ (B.1.23)

$$\Delta \Phi = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left (r \frac{\partial... ...ac{\partial^2 \Phi}{\partial \varphi^2} + \frac{\partial^2 \Phi}{\partial z^2}.$$ (B.1.24)