Der Drehimpulsoperator

Auch in der klassischen Feldtheorie erweisen sich der Impuls- und der Drehimpulsoperator der Quantentheorie

$$\vec{\op{p}}=-\ii \vec{\nabla}, \quad \vec{\op{L}}=\vec{x} \times \vec{\op{p}} = -\ii \vec{x} \times \vec{\nabla}$$ (B.1.25)

als äußerst nützlich. Daher betrachten wir einige Beziehungen dieser Operatoren in ihrer Anwendung auf Skalarfelder. Zunächst gelten für die Komponenten die Kommutatorrelationen

$$\comm{x_j}{\op{p}_k}=\ii \delta_{jk}.$$ (B.1.26)

Dies beweist man durch Anwendung des Kommutators auf ein beliebiges Skalarfeld $\psi$ . Offenbar gilt

$$\op{p}_k x_j \psi=-\ii \partial_k (x_j \psi)=-\ii (\delta_{jk}+x_j \partial_k) \psi=-\ii \delta_{jk} + x_j \op{p}_k \psi.$$ (B.1.27)

Daraus folgt durch einfache Umstellung

$$\comm{x_j}{\op{p}_k} \psi = (x_j \op{p}_k - \op{p}_k x_j) \psi = \ii \delta_{jk} \psi,$$ (B.1.28)

und das ist die Aussage von (B.1.26). Nun kann man sofort nachrechnen, daß für drei beliebige Operatoren $\op{A}$ , $\op{B}$ , $\op{C}$ die Identitäten

$$\comm{\op{A} \op{B}}{\op{C}}=\op{A} \comm{\op{B}}{\op{C}}+\comm{\... ...{A}}{\op{B} \op{C}} = \op{B} \comm{\op{A}}{\op{C}}+\comm{\op{A}}{\op{B}} \op{C}$$ (B.1.29)

gelten. Aus diesen Beziehungen folgen durch einfache Rechnungen die Kommutatorrelationen

$$\comm{x_j}{\op{L}_k} =\ii \epsilon_{jkl} x_l,$$ (B.1.30)

$$\comm{\op{p}_j}{\op{L}_k} =\ii \epsilon_{jkl} \op{p}_l,$$ (B.1.31)

$$\comm{\op{L}_j}{\op{L}_k} =\ii \epsilon_{jkl} \op{L}_l,$$ (B.1.32)

$$\comm{\op{L}_j}{\vec{x}^2} = \comm{\op{L}_j}{\vec{\op{p}}^2} = \comm{\op{L}_j}{\vec{\op{L}}^2} = 0.$$ (B.1.33)

Im folgenden verwenden wir auch einen beliebigen abstrakten Vektoroperator $\vec{\op{V}}$ , von dem wir nur annehmen, daß er die Kommutatorrelationen

$$\comm{\op{V}_j}{\op{L}_k}=\ii \epsilon_{jkl} \op{V}_l \; \Rightarrow \; \comm{\op{L}_j}{\op{V}_k} = \ii \epsilon_{jkl} \op{V}_l$$ (B.1.34)

erfüllt. Das ist insbesondere der Fall für $\vec{x}$ , $\vec{\op{p}}$ und $\vec{\op{L}}$ .

Oft benötigen wir auch die folgenden Formeln, die man mit Hilfe der Vertauschungsrelationen (B.1.30-B.1.33) unter Zuhilfenahme von (B.1.29) nachrechnet:

$$\vec{x} \cdot \vec{\op{L}} = \vec{\op{L}} \cdot \vec{x} = 0,$$ (B.1.35)

$$\vec{\op{p}} \cdot \vec{\op{L}} = \vec{\op{L}} \cdot \vec{\op{p}} = 0,$$ (B.1.36)

$$\vec{\op{V}} \cdot \vec{\op{L}} =\vec{\op{L}} \cdot \vec{\op{V}},$$ (B.1.37)

$$\vec{\op{V}} \times \vec{\op{L}} =2 \ii \vec{\op{V}} -\vec{\op{L}} \times \vec{\op{V}},$$ (B.1.38)

$$\vec{\op{L}} \times \vec{\op{L}} = \ii \vec{\op{L}},$$ (B.1.39)

$$(\vec{\op{L}} \times \vec{\op{V}})\times \vec{\op{L}} =\vec{\op{L}}^2 \vec{\op{V}} - \vec{\op{L}} (\vec{\op{V}} \cdot \vec{\op{L}})+\ii \vec{\op{L}} \times \vec{\op{V}},$$ (B.1.40)

$$\vec{\op{L}} \times (\vec{\op{L}} \times \vec{\op{V}}) = (\vec{\op{L}} \cdot \vec{\op{V}}) \vec{\op{L}} - \vec{\op{L}}^2 \vec{\op{V}} + \ii \vec{\op{L}} \times \vec{\op{V}},$$ (B.1.41)

$$\vec{\op{L}} \cdot (\vec{\op{L}} \times \vec{\op{V}}) = \ii \vec{\op{L}} \cdot \vec{\op{V}},$$ (B.1.42)

$$\vec{x} \times \vec{\op{L}} = \vec{x} (\vec{x} \cdot \vec{\op{p}})- \vec{x}^2 \vec{\op{p}}$$ (B.1.43)

$$\vec{\op{L}} \times \vec{\op{p}} = (\vec{x} \cdot \vec{\op{p}}) \vec{\op{p}} - \vec{x} \vec{\op{p}}^2,$$ (B.1.44)

$$\vec{\op{V}}^2 \vec{\op{L}} =\vec{\op{L}} \vec{\op{V}}^2,$$ (B.1.45)

$$\comm{\vec{\op{L}}^2}{\vec{\op{V}}} = \ii (\vec{\op{V}} \times \vec{\op{L}} -\vec{\op{L}} \times \vec... ... \times \vec{\op{V}} = 2\ii \vec{\op{V}} \times \vec{\op{L}} + 2 \vec{\op{V}} ,$$ (B.1.46)

$$\vec{\op{L}}^2 (\vec{\op{p}} \times \vec{\op{L}}) =-(\vec{\op{L}} \times \vec{\op{p}}) \vec{\op{L}}^2,$$ (B.1.47)

$$\vec{\op{L}}^2 (\vec{\op{x}} \times \vec{\op{L}}) =-(\vec{\op{L}} \times \vec{\op{x}}) \vec{\op{L}}^2.$$ (B.1.48)