Vektorpotential und skalares Potential

Die Maxwellgleichungen sind ein System gekoppelter Differentialgleichungen erster Ordnung. Oft ist es zweckmäßig, diese vier DGL's auf zwei DGL's, die dann zweiter Ordnung sind, zurückzuführen. Dies gelingt mit Hilfe des skalaren Potentials und des Vektorpotentials.

Zunächst beschaffen wir uns folgenden Satz:

Wenn die Divergenz eines Vektorfeldes $\vec{F}$ verschwindet, gibt es ein Vektorfeld $\vec{H}$, so daß $\vec{F}$ die Rotation von $\vec{H}$ ist.

$$\nabla\cdot \vec{F}=0\Rightarrow \vec{F}=\nabla\times\vec{H}$$

Da $\nabla\cdot\vec{B}=0$ gilt, gibt es ein Vektorfeld $\vec{A}$, so daß

$$\vec{B}=\nabla\times\vec{A}$$

gilt. $\vec{A}$ nennen wir Vektorpotential

Um die Form von $\vec{A}$ zu bestimmen, formen wir

$$\vec{B}(\vec{r}) =\frac{1}{c}\int d^3r'\vec{j}(\vec{r}')\times\frac{\vec{r}-\vec{r}'}{\vert\vec{r}-\vec{r}'\vert^3}$$

um.

$$\vec{B}(\vec{r}) =\frac{1}{c}\int d^3r'\vec{j}(\vec{r}')\time... ...vec{j}(\vec{r}')}{\vert\vec{r}-\vec{r}'\vert}=\mbox{rot}\vec{A}$$

Damit wird $\vec{A}$ zu

$$\vec{A}=\frac{1}{c}\int d^3r'\frac{\vec{j}(\vec{r}')}{\vert\vec{r}-\vec{r}'\vert}+\mbox{grad}\Lambda$$

Wenn wir von

$$\nabla\times\vec{E}=-\frac{1}{c}\partial_t\vec{B}$$

ausgehen und das Magnetfeld durch das Vektorpotential ausdrücken, folgt

$$\nabla\times\vec{E}=-\frac{1}{c}\nabla\times(\partial_t\vec{A... ...hspace{1cm}\nabla\times(\vec{E}+\frac{1}{c}\partial_t\vec{A})=0$$

Für den nächsten Schritt brauchen wir noch folgenden Satz:

Verschwindet die Rotation eines Vektorfeldes $\vec{F}$, dann gibt es ein Skalarfeld $\Phi$, so daß $\vec{F}$ der Gradient von $\Phi$ ist.

$$\nabla\times\vec{F}=0\Rightarrow \vec{F}=\nabla\Phi$$

Da die Rotation von $\vec{E}+\frac{1}{c}\partial_t\vec{A}$ verschwindet, folgt aus diesem Satz:

$$\vec{E}+\frac{1}{c}\partial_t\vec{A}=-\nabla\Phi$$

Das Feld $\Phi$ heißt Skalarpotential. Wir haben also:

$$\vec{E}=-\nabla\Phi-\frac{1}{c}\partial_t\vec{A}$$

$$\vec{B}=\nabla\times\vec{A}$$