Eichtransformationen

Wir haben gesehen, daß die Felder $\vec{E}\mbox{ und }\vec{B}$ über die Potentiale $\vec{A}\mbox{ und }\Phi$ definiert sind. Wir können nun die Maxwellgleichungen durch die Potentiale ausdrücken. Dies führt zu

$$\nabla^2\Phi+\frac{1}{c}\partial_t(\nabla\cdot\vec{A})=-4\pi\rho$$ (1)

und

$$\nabla^2\vec{A}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\vec{A}}{\parti... ...dot\vec{A}+\frac{1}{c}\partial_t\right)=-\frac{4\pi}{c}\vec{j}$$ (2)

Wir konnten also die vier Maxwellgleichungen auf zwei Gleichungen reduzieren. Allerdings sind sie weiterhin gekoppelt. Nun nutzen wir aus, daß das Vektorpotential in gewisser Weise willkürlich ist, da man zu $\vec{A}$ den Gradienten einer skalaren Funktion $\Lambda$ hinzufügen kann. Das bedeutet, $\vec{B}$ bleibt bei der Transformation

$$\vec{A}\rightarrow\vec{A}'=\vec{A}+\nabla\Lambda$$ (3)

unverändert. Damit auch das elektrische Feld ungeändert bleibt, muß das skalare Potential durch

$$\Phi\rightarrow\Phi'=\Phi-\frac{1}{c}\frac{\partial\Lambda}{\partial t}$$ (4)

transformiert werden. Daraus folgt, daß man an die Potentiale die Bedingung

$$\nabla\cdot\vec{A}+\frac{1}{c}\frac{\partial\Phi}{\partial t}=0$$ (5)

stellen darf. Ist diese Bedingung erfüllt, werden die Gleichungen (1) und (2) entkoppelt - es bleibt übrig:

$$\nabla^2\Phi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\Phi}{\partial t^2}=-4\pi\rho$$ (6)

und

$$\nabla^2\vec{A}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\vec{A}}{\partial t^2}=-\frac{4\pi}{c}\vec{j}$$ (7)

Die Transformationen (3) und (4) heißen Eichtransformationen, und die Invarianz der Felder unter solchen Transformationen nennt man Eichinvarianz. Die Beziehung (5) nennt man Lorentz-Bedingung. Potentiale, die diese Bedingung erfüllen, gehören zur Lorentz-Eichung. Man benutzt diese Eichung gerne, weil sie zum einen auf die Wellengleichungen (6),(7) führen zum anderen sind sie koordinatenunabhängig und werden deshalb in der speziellen Relativitätstheorie benutzt.

Eine andere Eichung ist die Coulomb-Eichung. Hier setzt man

$$\nabla\cdot\vec{A}=0$$

Die Poissonsche Gleichung

$$\nabla^2\Phi=-4\pi\rho$$

hat bekanntermaßen die Lösung

$$\Phi=\int\frac{\rho}{\vert\vec{x}-\vec{x}'\vert}d^3x'$$

Das skalare Potential ist dann das momentane Coulomb-Potential der Ladungsdichte. Daher der Name Coulomb-Eichung.

Die Coulomb-Eichung wird oft benutzt, wenn keine Quellen vorhanden sind. Die Felder werden dann bestimmt durch

$$\vec{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}$$

und

$$\vec{B}=\nabla\times\vec{A}$$