Was sind hidden-variable-Theorien

Hidden-variable-Theorien sind der Versuch, Möglichkeit 1 aus Abschnitt 3 in eine funktionierende Theorie umzusetzen. Der grundsätzliche Gedanke ist, daß die beobachtbaren Größen durchaus real sind, aber von unterliegenden, versteckten Größen abhängen. Wenn etwa A eine physikalische Größe ist, dann ist A ,,in Wirklichkeit`` eine Funktion eines (zunächst gar nicht näher bestimmten) Satzes von verstecken Variablen (üblicherweise mit $\lambda$ bezeichnet), also gleich $A(\lambda)$. Was dann ,,in Wirklichkeit`` gemessen wird, wenn A gemessen wird, ist das Ensemblemittel von $A(\lambda)$:

$$\bar{A} = \int A(\lambda) \rho(\lambda) d\lambda$$ (1)

wobei $\rho(\lambda)$ gleich der Wahrscheinlichkeitsdichte ist, die angibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit das System sich in einem Mikrozustand befindet, in welchem die versteckte(n) Variable(n) einen Wert zwischen $\lambda$ und $\lambda+\delta\lambda$ aufweisen.

Das mag nun reichlich esoterisch scheinen, beschreibt aber, um ein Beispiel für eine erfolgreiche hidden-variable-Theorie zu nenen, exakt die Verbindung zwischen der klassischen phänomenologischen Thermodynamik und der statistischen Thermodynamik: die Temperatur T eines Systems etwa ist eine fundamentale Größe in der phänomenologischen Thermodynamik. In der statistischen Thermodynamik aber ist sie eine Funktion des Erwartungswertes der Summe der kinetischen Energien der Atome des Systems:

$$T(E_{\mathrm{kin}}) = \frac{3}{2Nk}E_{\mathrm{kin}}$$

wobei N die Teilchenzahl und k die Boltzmannkonstante ist. Für ein System, in dem die Teilchenzahl N, das Volumen V und die Temperatur T konstant sind, ist die (zu messende) Temperatur:

$$\bar{T} = \int T(E_{\mathrm{kin}}) \rho(E_{\mathrm{kin}}) dE_{\mathrm{kin}}$$

wobei die Zustandsdichte $\rho(E_{\mathrm{kin}})$ hier einfach durch den Boltzmannfaktor $exp\left\{-E/kT\right\}$ gegeben ist. Die verschiedenen Mikrozustände zu verschiedenen kinetischen Energien bilden ein Ensemble, und in diesem Fall nennt man es ein NVT-Ensemble oder schlicht ein kanonisches Ensemble.

Bezogen auf die Quantenmechanik und EPR war nun die Hoffnung, eine hidden-variable-Theorie würde das scheinbare Paradox auflösen. Die im von EPR vorgeschlagenen Experiment gemessenen Größen wären dann nicht mehr fundamental, ihre Unbestimmtheit (und damit letztlich auch die Heisenbergsche Unschärferelation) seien nicht Folge der fundamentalen algebraischen Struktur der Quantenmechanik, sondern lediglich eine Folge unseres mangelnden Verständnisses der physikalischen Vorgänge und unserer mangelnden Fähigkeit, die verteckten Variablen zu entdecken. Bezogen auf das oben beschriebene Spiel von Alice, Bob und Trent heißt das, das Trent bei seiner Analyse die Existenz eines Spions miteinbeziehen muß, durch den Alice und Bob über Trents Fragen informiert sind, bevor er sie gestellt hat.

Konkret auf EPR bezogen hieße das, daß die im EPR-Experiment zu messenden Photonenpolarisationen oder Elektronenspins schon ganz am Anfang durch einen Satz versteckter Variablen festliegen.