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Was ist die Bellsche Ungleichung?

Wie in Abschnitt 4 erklärt, erwies sich die Frage, die EPR aufwarfen, als theoretisch nicht entscheidbar: unter der Annahme, eine erweiterte und verbesserte Theorie als die Quantenmechanik werde alle offenen Fragen schon beantworten, läßt sich nun mal nicht konkret diskutieren. Was allerdings gezeigt werden kann, ist, welche Eigenschaften diese neue und verbesserte Theorie haben muß respektive nicht haben darf.

1964 nun formulierte John S. Bell eine experimentell verifizierbare Bedingung, die alle Theorien, die ein lokales Realitätskriterium (wie das Einsteins) beinhalten, erfüllen müssen. Er zeigte des weiteren, daß die Quantenmechanik diese Bedingung verletzt und skizzierte einen Weg zur experimentellen Realisation. So sollte ein simples Experiment die alte Frage entscheiden können. Diese Bedingung soll im folgenden dargestellt werden: der Text richtet sich im wesentlichen nach [Bel71] und [Bel75], beides abgedruckt in [Bel93].

Wie weiter oben erklärt, haben die Observablen von hidden-variable-Theorien immer folgende Form:

\begin{displaymath}
\overline{A} = \int A(\lambda) \rho(\lambda) d\lambda
\end{displaymath}

Dabei ist $\lambda$ die versteckte Variable, $\rho(\lambda)$ das statistische Gewicht eines bestimmten Wertes von $\lambda$, und die gemessene Observable $\overline{A}$ ist das Integral über alle Werte der versteckten Variable, was natürlich identisch ist mit einem statistischen Mittel von $A(\lambda)$ in einem (hier nicht spezifizierten) $\lambda$-Ensemble. Genaugenommen trifft das formal auch auf Theorien zu, die keine versteckten Variablen beinhalten, hier ist lediglich $\int A(\lambda) \rho(\lambda)d\lambda
=\overline{A}\int\rho(\lambda)d\lambda=\overline{A}$.

Insbesondere haben natürlich auch alle lokal realistischen hidden-variable-Theorien, also alle Theorien, bei denen alle Observablen nur von Variablen abhängen, die am selben Ort realisiert sind, diese Eigenschaft.

Es werde nun folgendes Experiment betrachtet: von einer Quelle Q werden zwei Photonen, deren Polarisationsrichtungen zunächst unbestimmt, aber zueinander orthogonal sind, in entgegengesetzte Richtung emittiert. Beide Photonen treffen nun auf je einen Polarisationsfilter und werden nach Passieren des Filters von je einem Detektor registriert (oder auch nicht). Seien die das Experiment beschreibenden Observablen definiert durch: A=+1 wenn der erste Detektor ein Photon registriert und -1 sonst, ebenso B=+1 wenn der zweite Detektor ein Photon registriert und -1 sonst. Es seien nun beide Polarisationsfilter um Winkel $\alpha$ und $\beta$ (relativ zu einer beliebigen aber vorher festgelegten Richtung) drehbar.

In hidden-variable-Theorien sind nun die Observablen A und B nicht nur durch die entsprechenden quantenmechanischen Operatoren bestimmt, sondern auch durch den Satz versteckter Variablen $\lambda$. Also ist der Mittelwert vieler Messungen von $A(\alpha,\lambda)$, wie oben begründet, gegeben durch:

\begin{displaymath}
\overline{A} = \int A(\alpha,\beta,\lambda) \rho(\lambda) d\lambda
\end{displaymath}

und analog für $\overline{B}$. Einsteins Realitätskriterium nun verlangt die Abwesenheit einer spooky action at a distance, in anderen Worten also die Unabhängigkeit As von am zweitewn Detektor beobachtbaren Größen. Einstein erlaubt, daß A von $\alpha$ und $\lambda$ abhängen darf, verlangt aber, daß die Einstellung des zweiten Polfilters (also $\beta$) bei der Messung von A am ersten Detektor keine Rolle spielt. Also:

\begin{displaymath}
\overline{A} = \int A(\alpha,\lambda) \rho(\lambda) d\lambda
\end{displaymath}

und für die Korrelationsfunktion $P(\alpha,\beta)\equiv\int
A(\alpha,\beta,\lambda) B(\alpha,\beta,\lambda) \rho(\lambda)
d\lambda$ analog

\begin{eqnarray*}
P(\alpha,\beta) &=& \int A(\alpha,\beta,\lambda)
B(\alpha,\...
...\int A(\alpha,\lambda)
B(\beta,\lambda) \rho(\lambda) d\lambda
\end{eqnarray*}


Das muß für jede lokal realistische Theorie gelten. Wenn nun der Mittelwert von P bei zwei verschiedenen Einstellungen des zweiten Polarisationsfilters, nämlich $\beta$ und $\beta'$ gemessen wird, so muß demnach gelten:

\begin{displaymath}
P(\alpha,\beta) - P(\alpha,\beta')=
\int A(\alpha,\lambda)...
...int A(\alpha,\lambda) B(\beta',\lambda) \rho(\lambda) d\lambda
\end{displaymath}

Wird nun zu dieser Gleichung 0 addiert

\begin{eqnarray*}
0 &=& \pm \int A(\alpha,\lambda) B(\beta,\lambda)
A(\alpha'...
...a)
A(\alpha',\lambda) B(\beta',\lambda)
\rho(\lambda) d\lambda
\end{eqnarray*}


so ergibt sich

\begin{eqnarray*}
P(\alpha,\beta) - P(\alpha,\beta')
&=& \int A(\alpha,\lambd...
...(\alpha',\lambda) B(\beta,\lambda)\right]
\rho(\lambda) d\lambda
\end{eqnarray*}


Natürlich folgt aus $A,B=\pm1$ sofort $\vert AB\vert\leq1$ und das heißt:

\begin{eqnarray*}
\left\vert P(\alpha,\beta) - P(\alpha,\beta')\right\vert
&\le...
...(\alpha',\lambda) B(\beta,\lambda)\right]
\rho(\lambda)d\lambda
\end{eqnarray*}


da sowohl $\rho(\lambda)$ als auch die Terme in eckigen Klammern nicht negativ werden können. Mit $\vert A(\alpha,\lambda) B(\beta,\lambda)\vert\leq1$ und $\vert A(\alpha,\lambda) B(\beta',\lambda)\vert\leq1$ gilt dann:

\begin{eqnarray*}
\left\vert P(\alpha,\beta) - P(\alpha,\beta')\right\vert
&\...
...q& 2 - \left\vert P(\alpha',\beta')+ P(\alpha',\beta)\right\vert
\end{eqnarray*}


oder anders formuliert:

\begin{displaymath}
\left\vert P(\alpha,\beta) - P(\alpha,\beta')\right\vert +
...
...rt P(\alpha',\beta')+ P(\alpha',\beta)\right\vert - 2
\leq 0
\end{displaymath} (2)

Ungleichung 2 ist nicht die einzige, aber die bekannteste Formulierung der Bellschen Ungleichung. Sie muß von jeder Theorie erfüllt werden, die ein lokales Realitätsprinzip besitzt, also insbesondere von jeder lokalen hidden-variable-Theorie. Dabei sind die in der Bellschen Ungleichung vorkommenden Größen nach ein paar Modifikationen direkt experimentell zugänglich, wie in Abschnitt 10 näher erläutert. Somit ist die Frage, ob unsere Welt mit einem lokalen Realitätskonzept vollständig beschrieben werden kann, experimentell entscheidbar.



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