Was sagt die Quantenmechanik dazu?

Quantenmechanisch gesehen ist die Wellenfunktion von zwei zueinander orthogonal polarisierten Photonen (siehe Abbildung 1) gegeben durch [Bel93]:

$$\mathinner{\vert{\Psi}\rangle} = \frac{1}{\sqrt{2}} \mathin... ...inner{\vert{\frac{\pi}{2}}\rangle}\mathinner{\vert{0}\rangle}$$

wobei die Richtung ,,0`` in $\mathinner{\vert{0}\rangle}$ nicht festgelegt ist. Die Wahrscheinlichkeit, daß die beiden Photonen zwei Polarisationsfilter passieren, die auf Winkel $\alpha$ und $\beta$ eingestellt sind (wie im folgenden gezeigt wird, ist lediglich die Größe $\alpha-\beta$ relevant, also kommt es auch hier nicht auf eine spezifische Festlegung der absoluten Orientierung an), ist dann

$$\begin{eqnarray*} p(\mathrm{yes},\mathrm{yes}) &=& \frac{1}{2}\left\vert \math... ...2 \\ &=& \frac{1}{2}\left\vert\sin(\alpha-\beta)\right\vert^2 \end{eqnarray*}$$

und völlig analog:

$$\begin{eqnarray*} p(\mathrm{yes},\mathrm{no}) &=& \frac{1}{2}\left\vert\cos(\a... ...}) &=& \frac{1}{2}\left\vert\sin(\alpha-\beta)\right\vert^2 \\ \end{eqnarray*}$$

wobei die Quantenausbeute der Detektoren hier zunächst genauso unberücksichtigt bleibt, wie die Transmissionskoeffizienten der Polarisationsfilter und andere experimentelle Parameter. Die Korrelationsfunktion $P(\alpha,\beta)$ ist nun natürlich

$$\begin{eqnarray*} P(\alpha,\beta) &=& p(\mathrm{yes},\mathrm{yes}) + p(\mathrm... ...lpha-\beta) - \cos^2(\alpha-\beta) \\ &=& -\cos2(\alpha-\beta) \end{eqnarray*}$$

wie leicht zu sehen ist. Damit ist die linke Seite der Bellschen Ungleichung:

$$\begin{eqnarray*} &&\left\vert P(\alpha,\beta) - P(\alpha,\beta')\right\vert + ... ...ft\vert\cos2(\alpha'-\beta')+\cos2(\alpha'-\beta)\right\vert - 2 \end{eqnarray*}$$

Werden nun $\alpha$, $\alpha'$, $\beta$ und $\beta'$ geeignet gewählt, etwa

$$\alpha=0,\qquad \alpha'=\frac{\pi}{4},\qquad \beta=\frac{\pi}{8},\qquad \beta'=\frac{3\pi}{8}$$

so ergibt sich

$$\begin{eqnarray*} &&\left\vert P(\alpha,\beta) - P(\alpha,\beta')\right\vert + ... ...rt{2}} - 2 \\ &=& 2\left(\sqrt{2}-1\right) = 0.828\ldots\nleq0 \end{eqnarray*}$$

Die Quantenmechanik verletzt die Bellsche Ungleichung. Sie ist keine lokal realistische Theorie.