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Was sagt die Quantenmechanik dazu?

Quantenmechanisch gesehen ist die Wellenfunktion von zwei zueinander orthogonal polarisierten Photonen (siehe Abbildung 1) gegeben durch [Bel93]:

\begin{displaymath}
\mathinner{\vert{\Psi}\rangle} = \frac{1}{\sqrt{2}} \mathin...
...inner{\vert{\frac{\pi}{2}}\rangle}\mathinner{\vert{0}\rangle}
\end{displaymath}

wobei die Richtung ,,0`` in $\mathinner{\vert{0}\rangle}$ nicht festgelegt ist. Die Wahrscheinlichkeit, daß die beiden Photonen zwei Polarisationsfilter passieren, die auf Winkel $\alpha$ und $\beta$ eingestellt sind (wie im folgenden gezeigt wird, ist lediglich die Größe $\alpha-\beta$ relevant, also kommt es auch hier nicht auf eine spezifische Festlegung der absoluten Orientierung an), ist dann

\begin{eqnarray*}
p(\mathrm{yes},\mathrm{yes}) &=& \frac{1}{2}\left\vert
\math...
...2 \\
&=& \frac{1}{2}\left\vert\sin(\alpha-\beta)\right\vert^2
\end{eqnarray*}


und völlig analog:

\begin{eqnarray*}
p(\mathrm{yes},\mathrm{no}) &=&
\frac{1}{2}\left\vert\cos(\a...
...}) &=&
\frac{1}{2}\left\vert\sin(\alpha-\beta)\right\vert^2 \\
\end{eqnarray*}


wobei die Quantenausbeute der Detektoren hier zunächst genauso unberücksichtigt bleibt, wie die Transmissionskoeffizienten der Polarisationsfilter und andere experimentelle Parameter. Die Korrelationsfunktion $P(\alpha,\beta)$ ist nun natürlich

\begin{eqnarray*}
P(\alpha,\beta) &=& p(\mathrm{yes},\mathrm{yes}) +
p(\mathrm...
...lpha-\beta) - \cos^2(\alpha-\beta) \\
&=& -\cos2(\alpha-\beta)
\end{eqnarray*}


wie leicht zu sehen ist. Damit ist die linke Seite der Bellschen Ungleichung:

\begin{eqnarray*}
&&\left\vert P(\alpha,\beta) - P(\alpha,\beta')\right\vert +
...
...ft\vert\cos2(\alpha'-\beta')+\cos2(\alpha'-\beta)\right\vert - 2
\end{eqnarray*}


Werden nun $\alpha$, $\alpha'$, $\beta$ und $\beta'$ geeignet gewählt, etwa

\begin{displaymath}
\alpha=0,\qquad
\alpha'=\frac{\pi}{4},\qquad
\beta=\frac{\pi}{8},\qquad
\beta'=\frac{3\pi}{8}
\end{displaymath}

so ergibt sich

\begin{eqnarray*}
&&\left\vert P(\alpha,\beta) - P(\alpha,\beta')\right\vert +
...
...rt{2}} - 2 \\
&=& 2\left(\sqrt{2}-1\right) = 0.828\ldots\nleq0
\end{eqnarray*}


Die Quantenmechanik verletzt die Bellsche Ungleichung. Sie ist keine lokal realistische Theorie.

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