Tensorfelder

Bis jetzt haben wir nur Tangentialvektoren, dazu duale Vektoren und Tensoren an einem gegebenen Punkt $p$ der Mannigfaltigkeit betrachtet. Es ist klar, daß wir jetzt auch die Differenzierbarkeitseigenschaften der Mannigfaltigkeiten ausnutzen wollen, sonst hätten wir uns ja der Mühe, eine Differenzierbarkeitsstruktur zu definieren, nicht zu unterziehen brauchen. Dazu müssen wir natürliche interessante Objekte definieren, die sich differenzieren lassen. Die Tensoren, die wir soeben definiert und in einigen ihrer wesentlichen Eigenschaften beschrieben haben, eignen sich dazu noch nicht ganz, denn sie sind nur an einem Punkt definiert. Andererseits sind sie aber an jedem Punkt der Mannigfaltigkeit definierbar, und wir haben vermöge der Karten und der durch sie induzierten Koordinatenbasen bzw. -dualbasen die lokalen Voraussetzungen, die allein ausreichen um differenzieren zu können. Dazu definieren wir nun Tensorfelder wie folgt

Definition 10 (Tensorfelder)   Ein Tensorfeld vom Rang $\binom{s}{r}$ ist eine Abbildung, die jedem $p \in M$ einen Tensor $T(p) \in \Pi_r^{s}(p)$ zuordnet, so daß die Tensorkomponenten bzgl. einer Karte um $p$ beliebig oft stetig differenzierbar sind.

Wir wollen diese Definition auch für den Fall $r=s=0$ ausweiten und unter einem Tensorfeld vom Rang $\binom{0}{0}$ eine differenzierbare Abbildung $f:M \rightarrow \R$ verstehen, wobei $\R$ als Mannigfaltigkeit definiert ist, die mit der kanonischen Differenzierbarkeitsstruktur von $\R$ ausgestattet ist. Ein Tensorfeld vom Rang $\binom{0}{0}$ wird auch als Skalarfeld bezeichnet.

Wir bemerken dazu zunächst, daß diese Definition wieder kartenunabhängig ist, weil die Definition der Verträglichkeit der Karten untereinander sicherstellt, daß die geforderte Differenzierbarkeit der Tensorkomponenten bzgl. einer Karte um $p$ dieselbe Bedingung auch bzgl. jeder anderen Karte um $p$ sicherstellt. Das ergibt sich sofort aus der Transformationsformel für Tensorkomponenten und die Festlegung, daß die durch die Karten induzierten Transformationen $C^{\infty}$-Diffeomorphismen sein sollten.

Nunmehr läge es nahe, wild drauflos zu differenzieren und einfach die partiellen Ableitungen der Komponenten zusammen mit den Koordinatenbasen zu benutzen. Das hat den Nachteil, daß diese Prozedur i.a. keine neuen Tensorfelder erzeugt. Das kann der Leser leicht durch direkte Verwendung der Transformationsformel nachvollziehen! Damit besitzt eine solche Operation auch keine sinnvolle Bedeutung für die Strukturen auf der Mannigfaltigkeit.

Betrachten wir jedoch das $\binom{0}{0}$-Tensorfeld $f:M \rightarrow \R$. Sei nun $p \in M$. Dann definieren wir mit Hilfe einer Karte $\kappa$ um $p$²:

$$\d f(p) =\d q^{\mu} \partial_{\mu} f(q)\vert _{q=\kappa(p)}.$$ (21)

Wir müssen nun zeigen, daß dies tatsächlich eine von der benutzten Karte unabhängige Definition ist, also $\d f \in \Pi_1^{0}$ ist.

Bezeichnen wir jetzt $f'=f \circ \kappa'{}^{-1}$, wobei $\kappa'$ eine zu $\kappa$ verträgliche Karte um $p$ ist, so finden wir

$$\d q'{}^{\nu} \partial_{\nu}' f'(q') = \d q^{\mu} \frac{\partial ... ...ial q'{}^{\nu}} \partial_{\rho}f(q) = \d q^{\mu} \partial_{\mu} f(q) = \d f(p),$$ (22)

und das bedeutet, daß tatsächlich $\d f(p)$ unabhängig von der benutzten Karte ist. Diese Betrachtungen gelten nun aber für jeden Punkt der Mannigfaltigkeit, und damit ist also $\d f$ ein Tensorfeld vom Rang $\binom{0}{1}$. Man nennt diese Linearform auchDifferentialform des Skalarfeldes $f$. Wir bemerken insbesondere, daß sich vermöge dieser Definition die Schreibweise $\d q^{\mu}$ für die Koordinatenbasis von $T_p^*M$ unterordnet, denn für das Skalarfeld $f \circ \kappa^{-1}(q) =q^{\mu}$ gilt offenbar $\d f=\d q^{\mu}$. Wir ersehen aus diesen Betrachtungen ohne weitere Mühen auch das Transformationsverhalten von Skalarfeldern, nämlich

$$f'(q')=f \circ \kappa'{}^{-1}(q') = f(p) = f \circ \kappa^{-1}(q) = f(q),$$ (23)

d.h. $f'(q')$ besitzt den koordinatenunabhängigen Wert $f(p)$, der in der üblichen abkürzenden Schreibweise mit $f(q)$ bezeichnet wird. Dieses Beispiel zeigt, wie einfach die scheinbar so komplizierten Transformationen durch die koordinatenunabhängige Sichtweise werden.

Ein sehr anschauliches Beispiel eines Skalarfeldes aus der Physik ist das eines Temperaturfeldes. Jedem Punkt im Raum (der durch eine Mannigfaltigkeit $M$ beschrieben wird) wird die dort herrschende Temperatur zugeordnet, und die Koordinaten, mit denen wir diesen Punkt bezeichnen, ändert an der dort herrschenden Temperatur gar nicht. Die Koordinaten dienen praktisch nur dazu, den Punkt in einer Karte (man vergegenwärtige sich nochmals die sehr anschauliche Sprechweise der Differentialgeometer) zu kennzeichnen.