Antisymmetrische Tensorfelder

Diese Rechnung liese sich nun für Tensorfelder beliebiger Stufe wiederholen, nur wird dann schnell klar, daß die Ableitung desselben kein Tensorfeld mehr ist, weil bei einer Koordinatentransformation auch die Jacobimatrizen abgeleitet werden. Andererseits sind die zweiten partiellen Ableitungen der Diffeomorphismen bei der stets vorausgesetzen stetigen Differenzierbarkeit vertauschbar. Das bedeutet aber, daß für den Fall, daß die Komponenten eines rein kovarianten Tensorfeldes bei Vertauschen zweier beliebiger Indizes das Vorzeichen wechseln, die partiellen Ableitungen wieder ein Tensorfeld bilden.

Diese Idee setzen wir nun folgendermaßen um:

Definition 11 (Antisymmetrische Tensorfelder)   Sei $\omega \in \Pi_q^0$, so daß für jeden Punkt $p \in M$ für beliebige Vektoren $V_1, \ldots V_q \in TM_p$ und alle $j,k \in \{1,\ldots,q\}$ gilt:

$$\omega(p)(V_1,\ldots,V_j,\ldots,V_k,\ldots,V_q) = - \omega(p)(V_1,\ldots,V_k,\ldots,V_j,\ldots,V_q).$$ (24)

Nach (16) ist klar, daß diese sog. total antisymmetrischen Tensorfelder oder $q$-Formen Komponenten besitzen, bei denen das Vertauschen zweier beliebiger Indizes stets einen Vorzeichenwechsel bewirkt.

Die total antisymmetrischen Tensorfelder bilden offensichtlich einen Untervektorraum von $\Pi_q^0$, den wir mit $\Omega_q$ bezeichnen wollen.

Definition 12 (Keilprodukt)   Seien $A \in \Omega_p$ und $B \in \Omega_q$. Dann definieren wir in einer lokalen Koordinatenbasis um $p \in M$ vermöge

$$(A \wedge B)_{m_1 \ldots m_{p+q}}(p) = A_{[m_1 \ldots m_p} B_{m_{p+1} \ldots m_{p+q}]}$$ (25)

Komponenten einer $p+q$-Form.

Die eckigen Klammern um die Komponenten haben dabei folgende Bedeutung. Ist $T_{m_1 \ldots m_q}$ eine beliebige Menge reeller Zahlen, definieren wir die antisymmetrisierten Ausdrücke durch

$$T_{[m_1 \ldots m_q]} = \frac{1}{q!} \sum_{P \in S(q)} \sigma(P) T_{P(m_1) \ldots P(m_q)}.$$ (26)

Dabei bezeichnet $S(q)$ die Permutationsgruppe der Menge $\{1,\ldots,q\}$ und $\sigma(P)$ das Vorzeichen der Permutation, welches $-1$ ($+1$) ist, wenn man eine ungerade (gerade) Zahl von Vertauschungen zweier Zahlen benötigt um die durch die Permutation $P$ gegebene Anordnung der Zahlen $\{1,\ldots,q\}$ zu erreichen.

Offenbar bilden dann die Keilprodukte

$$\d q^{m_1} \wedge \d q^{m_2} \wedge \cdots \wedge \d q^{n_q}$$ (27)

eine Basis von $\Omega_q$, wobei natürlich nur alle geordneten Mengen von $q$ Indizes aus $\{1,\ldots,q\}$ linear unabhängig sind. Die Dimension des Vektorraums $\Omega_q$ ist also $\binom{n}{q}$, und es ist klar, daß $q$-Formen mit $q>n$ identisch verschwinden. Die Skalarfelder bezeichnen wir in diesem Zusammenhang übrigens als 0-Formen. Die Entwicklung der $q$-Form $\Omega$ nach dieser Basis schreibt sich

$$\omega = \frac{1}{q!} \omega_{m_1 \ldots m_q} \d q^{m_1} \wedge \cdots \wedge \d q^{m_q}.$$ (28)

Zur koordinatenunabhängigen Definition der Ableitung einer Form zeigen wir

Satz 4   Sei $\omega \in \Omega_q$, $p \in M$ beliebig und $q_k$ ein Satz von lokalen Koordinaten bzgl. einer beliebigen Karte um $p$. Dann wird die Abbildung $\d: \Omega_q \rightarrow \Omega_{q+1}$ durch die folgenden Forderungen

(a)

Ist $\omega \in \Omega_0$, so gilt $\d f=\d q^{\mu} \partial_{\mu} f$

(b)

$\d(\alpha f+\beta g)=\alpha \d f+\beta \d g$ für alle $f,g \in \Omega_q$, $q=1,\ldots,n$ und $\alpha, \beta \in \R$.

(c)

Sind $\omega \in \Omega_p$ und $\eta \in \Omega_q$, so gilt $\d(\omega \wedge \eta)=\d \omega \wedge \eta+(-1)^p \omega \wedge \d \eta$.

(d)

Für alle $\omega \in \Omega_q$ ist $\d(\d \omega)=0$.

eindeutig bestimmt.

Beweis: Da $\d$ wegen (b) eine lineare Abbildung ist, genügt es zu zeigen, daß diese Abbildung für $q$-Formen der speziellen Gestalt

$$\omega = f \d q^{m_1} \wedge \cdots \wedge \d q^{m_q} 1 \leq m_1 < m_2 \ldots <m_q \leq n$$ (29)

eindeutig bestimmt ist und eine $(q+1)$-Form bildet. Benutzen wir wieder die Parametrisierung durch lokale Koordinaten $q^k$ einer beliebigen Karte, folgt wegen (c) und (d) für diese $q$-Formen unter Benutzung von (a) notwendig:

$$\d \omega = \d f \wedge \d q^{m_1} \wedge \cdots \wedge \d q^{m_q... ...l_{\mu} \omega \, \d q^{\mu} \wedge \d q^{m_1} \wedge \cdots \wedge \d q^{m_q}.$$ (30)

Definieren wir nun auf der Karte um $p$ den Operator $\d$ in dieser Weise, sehen wir auch, daß wegen der Antisymmetrie des Keilprodukts auch (c) und (d) erfüllt sind.

Daß diese Definition auf ganz $M$ und nicht nur lokal in einem Kartengebiet um $p$ gilt, erfordert nun nur noch den Nachweis, daß sich $\d \omega$ wie eine $q+1$-Form transformiert. Auch dies berechnet man sofort aus der allgemeinen Transformationsformel und der Antisymmetrie des Keilprodukts. Q.E.D.

Als nächstes wollen wir das für die Physik so wichtige Lemma von Poincaré beweisen.

Satz 5 (Lemma von Poincaré)   Sei $\omega$ eine $q$-Form auf einer Mannigfaltigkeit $M$, für die $\d \omega=0$ ist. Dann existiert zu jedem $p \in M$ existiert eine Umgebung $U \in \mathcal{U}(p)$ und eine in dieser Umgebung definierte $(q-1)$-Form $\alpha$, so daß $\omega\vert _{U} = \d \alpha$.

Beweis: Sei $p \in M$ und $\kappa$ eine Karte um $p$. Das Bild $V=\kappa(U_{\kappa}) \subseteq \R^n$ ist offen und enthält folglich eine offene Kugel $K_p$ um $p$. Sei $U=\kappa^{-1}(K_p)$. Dieses ist offenbar sternförmig bzgl. $p$, denn in $K_p$ ist mit jedem Punkt auch die gerade Verbindungslinie dieses Punktes mit $\kappa(p)$ enthalten.

Wir brauchen folglich den Satz nur für sternförmige Gebiete im $\R^n$ zu beweisen. Sei also $U \subseteq \R^n$ offen und sternförmig bzgl. des Ursprungs. Sei weiter $\omega$ eine in $U$ definierte $q$-Form und $\d \omega=0$. Dann müssen wir eine $(q-1)$-Form $\alpha$ in $U$ finden, so daß $\d \alpha=\omega$ ist.

Dazu definieren wir die lineare Abbildung $H:\Omega_q \rightarrow \Omega_{q-1}$ durch

$$H \omega(q)=\frac{1}{q!} \sum_{\alpha=1}^q (-1)^{\alpha-1} \int_{... ...ge \cdots \wedge \widehat{\d q^{\mu_{\alpha}}} \wedge \cdots \wedge \d q^{m_q},$$ (31)

wobei

$$\omega_{\mu_1 \ldots \mu_q}=\omega(\partial_{\mu_1},\ldots,\partial_{\mu_q})$$ (32)

die Komponenten der alternierenden Multilinearform $\omega$ bzgl. der lokalen Koordinaten $q_{\mu}$ ist.

Der Akzent über einem Tensor im Keilprodukt bedeutet, daß dieser aus diesem Keilprodukt zu streichen ist. Das bedeutet, daß auf der rechten Seite in der Tat eine $q-1$-Form steht. Wir bemerken, daß das Integral wohldefiniert ist, weil wir den Definitionsbereich $U$ von $\omega$ als sternförmig bzgl. dem Ursprung konstruiert haben. Für jedes $q$ handelt es sich um das Wegintegral entlang der geraden Verbindungslinie des Ursprungs mit $q$. Unter der Summe über $\alpha$ ist über alle $\mu_k$ gemäß der Einsteinkonvention von $1$ bis $\d$ zu summieren.

Jetzt soll nach Voraussetzung $\d \omega=0$ sein. Das bedeutet für die Komponenten

$$\partial_{[\mu} \omega_{\mu_1 \ldots \mu_q]}=0.$$ (33)

Da $\omega_{\mu_1 \ldots \mu_q}$ bereits total antisymmetrisch gegen Vertauschung ist, vereinfacht sich die Antisymmetrisierung zu

$$\partial_{[\mu} \omega_{\mu_1 \ldots \mu_q]}=\sum_{\alpha=1}^q (-... ...\partial_{\mu_{\alpha}} \omega_{\mu \mu_1 \ldots \widehat{\mu_{\alpha}} \mu_q}.$$ (34)

Überschieben mit $\d q^{\mu_1} \wedge \cdots \wedge \d q^{\mu_q} q^{\mu}$ ergibt nach Vertauschung der Summationsindizes $\mu_{\alpha}$ und $\mu$ unter der Summe bzgl. $\alpha$ und Vertauschung des Indexbildes an $\omega$ bei entsprechender Korrektur der Vorzeichens

$$q^{\mu} \partial_{\mu} \omega_{\mu_1 \ldots \mu_q} \d q^{\mu_1} \... ...cdots \wedge \widehat{\d q^{\mu_{\alpha}}} \wedge \cdots \wedge \d q^{\mu_{q}}.$$ (35)

Jetzt wenden wir den Operator $\d$ auf die Definition $H \omega$ in (31) an und verwenden (35):

$$\begin{split}\d H \omega(q) & = \frac{1}{q!} \int_0^1 \d t \l... ...ht] \d q^{\mu_1} \wedge \cdots \wedge \d q^{\mu_q}. \end{split}$$ (36)

Da nach Voraussetzung die Komponenten von $\omega$ beliebig oft stetig differenzierbar sind, ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung auf der rechten Seite dieser Gleichung anwendbar, und wir erhalten wegen $q \geq 1$ die Behauptung:

$$\omega=\d H \omega \Rightarrow \alpha= H \omega.$$ (37)

erfüllt die im Satz genannte Eigenschaft.Q.E.D.

Bemerkung:

Es ist klar, daß zu gegebenem $\omega \in \Omega^q$ mit $\d \omega=0$ das $\alpha$ keineswegs eindeutig bestimmt ist, sondern z.B. auch $\alpha'=\alpha + \d \beta$, wobei $\beta$ eine beliebige $q-2$-Form ist (für $q=1$ ist unter $\beta$ einfach eine Konstante zu verstehen). Dies ist aber lokal auch schon die größtmögliche Vieldeutigkeit für $\alpha$, denn wir wegen der Linearität der äußeren Ableitung $\d$ können wir aus $\d \alpha'=\d \alpha=\omega$ schließen, daß $\d (\alpha'-\alpha)=0$ und damit lokal auf $\alpha'-\alpha=\d \beta$ mit einer geeigneten $q-2$-Form $\beta$ schließen. Es ist aber keineswegs gesichert, daß dies für dieselbe Umgebung $U(q)$ eine gegebenen Punktes zutreffen muß. Notfalls muß man die Umgebung entsprechend verkleinern!