Beispiele

In diesem Abschnitt gehen wir kurz auf einige charakteristische Beispiele für die Anwendung des Poincaréschen Lemmas in der Physik ein.

Betrachten wir zunächst die möglichen konkreten Ausprägungen des Poincaréschen Lemmas im $\R^3$. Es gibt hier natürlich nur drei Fälle:

(a)

$q=1$. Sei also $\omega$ eine $1$-Form. In gegebenen lokalen Koordinaten $q^{\mu}$ um den Punkt $q^{\mu}=0$ ist natürlich $\omega=\omega_{\mu} \d q^{\mu}$. Die Geschlossenheit der Differentialform $\d \omega=0$ bedeutet in diesen Koordinaten

$$\partial_{\nu} \omega_{\mu} \d q^{\nu} \wedge \d q^{\mu}=0 \Leftrightarrow \partial_{\nu} \omega_{\mu} - \partial_{\nu} \omega_{\mu}=0.$$ (38)

Dann existiert nach dem Lemma von Poincaré lokal um jeden Punkt ein skalares Feld $\alpha$ (eine ``0-Form''), so daß

$$\d \alpha=\omega \Leftrightarrow \omega_{\mu}=\partial_{\mu} \alpha.$$ (39)

Nach dem Beweis zum Lemma von Poincarè ist in jedem Punkt $q^{\mu}$ in einer hinreichend kleinen Umgebung um $q^{\mu}=0$

$$\alpha(q)=\int_0^1 \d t q^{\mu} \omega_{\mu}(qt),$$ (40)

und nach der an den Beweis anschließenden Bemerkung ist $\alpha$ bis auf eine additive Konstante eindeutig bestimmt.

Das einfachste Beispiel ist das Gravitationsfeld eines Massepunktes. Nehmen wir für die lokalen Koordinaten kartesische $x^{\mu}$ und sei der Massepunkt in $y^{\mu}$ lokalisiert, wobei $y \neq 0$, dann können wir das Kraftfeld durch eine $1$-Form charakterisieren³:

$$\omega=-m_1 m_2 \gamma \frac{x_{\mu}-y_{\mu}}{[\sum_{\nu=1}^3(x^{\nu}-y^{\nu})^2]^{3/2}} \d x^{\mu}.$$ (41)

Hier definieren wir kurzerhand $x_{\mu}=x^{\mu}$, was später noch in der euklidischen Struktur des $\R^3$ seine differentialgeometrische Begründung finden wird. Man rechnet sofort nach, daß $\d \omega=0$ ist und die Auswertung des obigen Integrals ergibt

$$V(x^{\mu})=-\alpha(x^{\mu})=-\gamma m_1 m_2 \frac{1}{[\sum_{\nu=1}^3(x^{\nu}-y^{\nu})^2]^{1/2}} + ,$$ (42)

also, wie nicht anders zu erwarten, das Coulombpotential.

In der klassischen Vektoranalysis faßt man diesen Sachverhalt kurz dadurch zusammen, daß ein wirbelfreies Vektorfeld zumindest lokal der Gradient eines Skalarfeldes ist. Es ist in unserem Beispiel klar, daß dies außer in $x^{\mu}=y^{\mu}$, also der punktförmigen Quelle des Gravitationsfeldes überall gilt.

(b)

$q=2$. In diesem Falle ist

$$\omega=\frac{1}{2} \omega_{\mu \nu} \d q^{\mu} \wedge \d q^{\nu}.$$ (43)

In drei Dimensionen besitzt ein antisymmetrisches Tensorfeld 2. Stufe aber gerade drei linear unabhängige Komponenten, und es ist bequem zu schreiben

$$\omega_{\mu \nu}=\epsilon_{\mu \nu \rho} \tilde{\omega}^{\rho},$$ (44)

wobei das Levi-Civita-Symbol

$$\epsilon_{\mu \nu \rho}=\begin{cases}\sigma(\mu,\nu,\rho) & \text{falls } \{\mu,\nu,\rho\}=\{1,2,3\} \\ 0 & \text{sonst} \end{cases}$$ (45)

ist. Dabei ist $\sigma$ das Vorzeichen der Permutation $(1,2,3) \rightarrow (\mu \nu \rho)$. Man rechnet schnell nach, daß

$$\d \omega=0 \Leftrightarrow \partial_{\rho} \tilde{\omega}^{\rho}=0$$ (46)

gilt. Dadurch vereinfacht sich die Bedingung für Geschlossenheit der Differentialform für den Fall $n=3$ erheblich. Hier entspricht also dem Lemma von Poincaré die klassische Aussage, daß ein quellenfreies Vektorfeld lokal durch die Rotation eines Vektorfeldes dargestellt werden kann.