Berandete Mannigfaltigkeiten

Das Musterbeispiel einer berandeten Mannigfaltigkeit im $\R^n$ ist der Halbraum

$$\R_{-}^{n}:= \{ x \in \R^n\vert x^1 \leq 0 \}.$$ (47)

Als den Rand dieser Mannigfaltigkeit definieren wir naturgemäß die Punkte, die bzgl. der Topologie des $\R^n$ keine Umgebungen besitzen. Das sind offenbar genau die Punkte $x \in \R^n$ mit $x^1=0$. Genauso wie wir den $\R^n$ über die Karten und Atlanten benutzt haben, um die Mannigfaltigkeit mit einer Differenzierbarkeitsstruktur zu versehen, verfahren wir nun mit $\R_{-}^n$. Dazu versehen wir $\R_{-}^n$ mit der induzierten Topologie von $\R^n$, d.h. wir bezeichnen eine Menge $M$ als in $\R_{-}^n$ offen, wenn es eine in $\R^n$ offene Menge Menge $M'$ gibt, so daß $M=M' \cap \R_{-}^n$ gilt. Darauf gründen wir nun die folgende Definition:

Definition 13   Berandete Mannigfaltigkeit Sei $M$ ein topologischer Hausdorffraum. Dann heißt ein Homöomorphismus $\kappa:U \rightarrow \R^n$ oder $\kappa:U \rightarrow \R_{-}^{n}$, wobei $U \subseteq M$ offenen Teilmenge von $M$ ist, berandete $n$-dimensionale Karte für M.

Die Definitionen von berandeten Atlanten und berandeten Mannigfaltigkeiten ergibt sich nun exakt wie im Fall allgemeiner Mannigfaltigkeiten, so daß wir nicht all diese Begriffe hier wiederholen müssen. Wir müssen nur einige Hilfssätze über Diffeomorphismen bzgl. der Randpunkte beweisen:

Lemma 1   Randverhalten von Diffeomorphismen Seien $U$ und $V$ in $\R_{-}^n$ offene Mengen und $f:U \rightarrow V$ ein Diffeomorphismus. Dann gilt $f(\partial U)=\partial V$, und die Einschränkung $f\vert _{\partial U}:\partial U \rightarrow \partial V$ ist Diffeomorphismus zwischen offenen Teilmengen des $\R^{n-1}$.

Sei $p \in U$ Randpunkt. Dann bildet das Differential $\d f_p:\R^n \rightarrow \R^n$ den Untervektorraum $\{0\} \times \R^{n-1}$ Sowie die Halbräume $\R_{\pm}^n$ jeweils in sich ab, d.h. die Jacobimatrix in $p$ ist von der Gestalt

$$J_f(p)=\begin{pmatrix}\partial_1 f^1 & 0 \\ \partial_1 f^2 & \qua... ... & J_{f\vert \{0 \} \times \R^{n-1}}(p) \\ \partial_1 f^n & \quad \end{pmatrix} \partial_1 f^1>0.$$ (48)

Beweis: Zu $p \in \partial U$ sei $g:U'_p \rightarrow \R^n$ eine lokale differenzierbare Fortsetzung von $f$. Wäre nun $f(p)$ kein Randpunkt von $V$, dann gäbe es eine in $\R^n$ offene Umgebung $V_p$ von $f(p)$. Da $f^{-1}$ stetig ist, ist $f^{-1}(V_p)$ offen in $\R^n$. Da $f^{-1}(V_p) \subset U_p$ und $g \circ (f^{-1}\vert V_{p}) =$   id$\vert _{V_{p}}$, besitzt $f^{-1}$ bei $f(p)$ vollen Rang und ist folglich lokaler Diffeomorphismus. Folglich ist $f^{-1}(V_p)$ Umgebung von $p$ in $\R^n$, was aber nicht sein kann, da ja $p$ Randpunkt gewesen sein sollte. Also ist $f(\partial U) \subset \partial V$. Exakt die gleiche Überlegung ist aber auch auf $f^{-1}$ anwendbar und folglich $f^{-1}(\partial V) \subset \partial U$, woraus schließlich $f(\partial U)=\partial V$ resultiert.

Da $f(\partial U)=\partial V$ ist $f^1\vert _{\partial U} \equiv 0$. Es ist also $\partial_k f^1\vert _{\partial U}=0$ für $k \in \{2,\ldots,n \}$. Da $V \in \R_{-}^n$ ist $f^1<0$ in ganz $U$ und folglich die Richtungsableitung entlang der $1$-Richtung positiv, denn die Jacobimatrix muß ja vollen Rang besitzen, weil $f$ voraussetzungsgemäß Diffeomorphismus ist. Folglich ist (48) bewiesen. Daraus folgen unmittelbar die Behauptungen des Satzes. Q.E.D.

Daraus ergibt sich sofort die folgende

Definition 14   Randpunkte von M Sei $M$ berandete Mannigfaltigkeit. Ein Punkt $p \in M$ heißt Randpunkt, wenn er von einer Karte $\kappa: U \rightarrow \R_{-}^n$ (und damit nach Lemma 1 durch jede Karte) auf einen Randpunkt von $\kappa(U) \subseteq \R_{-}^n$ abgebildet wird.

Aus dem zweiten Teil von Lemma 1 wird unmittelbar klar, daß der Rand $\partial M$ durch Einschränkung der Karten von $M$ zu einer unberandeten $n-1$-dimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeit wird. Unter $\partial M$ verstehen wir hinkünftig die so definierte differenzierbare randlose Mannigfaltigkeit. Die Tangentialräume von $M$ an Randpunkten sind die vollen Tangentialräume. Allerdings sind die beiden Halbräume gemäß Lemma 1 durch $T_p^{\pm} M=(d \kappa_p)^{-1}(\R_{\pm}^N)$ wohldefiniert, d.h. koordinatenunabhängig definiert.

Es ist weiter $T_p \partial M \subset T_p M$ und $T_p^{+} M \cap T_p^{-}M = T_p \partial M$.

Die Tangentialvektoren in $T_p^{-}M \setminus T_p \partial M$ heißennach innen weisende, die in $T_p^{+}M \setminus T_p \partial M$nach außen weisende Tangentialvektoren in $p$. Es ist klar, daß die Komponente eines nach innen (außen) weisenden Vektors bzgl. jeder Karte eine negative (positive) $1$-Komponente besitzt.