Orientierte Mannigfaltigkeiten

Den $\R^n$ kann man wie folgt orientieren.

Definition 15   Orientierung in Vektorräumen Basen $\{v_i \}$ und $\{ v_i' \}$ eines Vektorraums $V$ heißengleichorientiert, wenn der basiswechselnde Isomorphismus eine positive Determinante besitzt. Gleichorientiertheit ist offenbar eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Basen des Vektorraums, die zwei Äquivalenzklassen definiert. Ein orientierter Vektorraum ist ein Paar $(V,$or$)$, wobei eine der Orientierungen ausgezeichnet wurde.

Definition 16   Orientierung von Mannigfaltigkeiten Sei $\{$   or$_p \}_{p \in M}$ eine Familie von Orientierungen der Tangentialräume $T_pM$. Eine Karte $\kappa:U \rightarrow \R^n$ einer $n$-dimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeit um $p \in U$ heißt orientierungserhaltende Karte bzgl. dieser Familie von Orientierungen, wenn $\d h_p:T_p M \rightarrow \R^n$ die Orientierung or$_p$ in die Orientierung von $\R^n$ überführt.

Die Familie $\{$   or$_p \}_{p \in M}$ von Orientierungen heißt lokal verträglich, wenn sich zu jedem $p \in M$ eine orientierungserhaltende Karte $\kappa$ angeben läßt.

Die Mannigfaltigkeit $M$ wird dadurch zu einer orientierten Mannigfaltigkeit, daß man auf ihr eine lokal verträgliche Familie von Orientierungen definiert.

Bemerkung: Ist $M$ eine orientierte Mannigfaltigkeit, so wird durch die Menge aller orientierungserhaltenden Karten ein maximalerorientierender Atlas definiert, d.h. ein Atlas, bei dem alle Kartenwechsel überall positive Jacobideterminanten besitzen. Umgekehrt definiert jeder orientierungserhaltende Atlas eine Orientierung auf $M$.

Wenden wir uns nun orientierten berandeten Mannigfaltigkeiten zu. Es ist aufgrund von Lemma 1 klar, daß der Rand einer orientierten berandeten Mannigfaltigkeit ebenfalls orientierbar ist, denn ein maximaler orientierter Atlas auf $M$ induziert einen ebensolchen auf $\partial M$.

Definition 17   Orientierung des Randes Sei $M$ eine orientierte berandete Mannigfaltigkeit und $p \in \partial M$. Dann heißt eine Basis $\{ b_1,\ldots,b_{n-1} \}$ von $T_p \partial M$ genau dann relativ zu $T_pM$ positiv orientiert, wenn für einen und damit jeden nach außen weisenden Vektor $b_0$ die Basis $\{ b_0, b_1,\ldots,b_{n-1} \}$ von $T_pM$ positiv orientiert ist. Wir versehen den Rand $\partial M$ im folgenden stets mit dieser Orientierung.