Integration auf Mannigfaltigkeiten

Nun können wir uns der Integration widmen. Es ist klar, daß wir mittels der lokalen Karten im Prinzip die Lebesgueintegration auf dem $\R^n$ zur Verfügung haben. Es ergeben sich nur zwei Probleme. Das erste ist, daß wir koordinatenunabhängige Definitionen für die Integrale benötigen, damit es überhaupt sinnvoll ist, von Integrationen auf Mannigfaltigkeiten zu sprechen. Zum zweiten wollen wir die zunächst nur lokal definierten Integrale auf beliebig große Teilmannigfaltigkeiten und gar die gesamte Mannigfaltigkeit verallgemeinern.

Definition 18   Kleine Mengen Sei $M$ ein Mannigfaltigkeit. Eine Teilmenge $A \subseteq M$ heißtklein, wenn sie vollständig im Gebiet einer Karte enthalten ist.

Lemma 2   Zerlegung in kleine Mengen Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit, auf der ein abzählbarer Atlas $\mathcal{A}=\{(\kappa_j,U_j) \}_{i \in \N}$ existiert. Dann gibt es stets eine Zerlegung der Mannigfaltigkeit $M$ in disjunkte kleine Teilmengen.

Beweis: Definiert man rekursiv $A_1=U_1$ und $A_{j+1}=U_{j+1} \setminus \cup_{k=1}^{j} U_k$. Q.E.D..

Definition 19   Integral einer $n$-Form Sei nun $\omega$ eine $n$-Form auf einer orientierten $n$-dimensionalen Mannigfaltigkeit $M$. Es existiere eine Zerlegung $\{A_j \}_{j \in \N}$ von $M$ in abzählbar viele kleine Lebesgue-meßbare Teilmengen und $\{(U_j,\kappa_j)\}_{j \in \N}$ eine Folge von orientierungserhaltenden Karten mit $A_j \subseteq U_j$ derart, daß die Funktionen

$$a_j:\kappa_j(U_j) \rightarrow \R, \; a_j(q^k)=\omega_{\kappa_j^{-1}(q)}(\partial_1,\ldots,\partial_n)$$ (49)

über $h_j(A_j)$ Lebesgue-integrierbar sind und

$$\sum_{j=1}^{\infty} \int_{\kappa_j(A_j)} \d^n q \vert a_j(q)\vert<\infty$$ (50)

ist. Dann definieren wir als der Integral der $n$-form

$$\int_M \omega := \sum_{j=1}^{\infty} \int_{\kappa_{j}(A_j)} \d^n q a_j(q).$$ (51)

Satz 6   Wohldefiniertheit des Integrals Das soeben definierte Integral ist von der gewählten Zerlegung $A_j$ und der Karten $\kappa_j$ unabhängig. Insbesondere gilt auch (50) für jede solche Zerlegung.

Beweis: Sei also $\{A_j' \}_{j \in \N}$ Zerlegungen von $M$ in meßbare Mengen und $\{(U_j',\kappa_j')\}$ orientierungserhaltende Karten mit $A_j' \subseteq U_j'$. Ferner seien $a_j'$ bzgl. der neuen Zerlegung definiert wie (49) bzgl. der ursprünglichen Zerlegung.

Über $\R^n$ Lebesgue-integrable Funktionen sind nun auch über jede Lebesgue-meßbare Teilmenge des $\R^n$ integrabel, insbesondere also die $a_j$ über $\kappa_j(A_j \cap A_k')$. Aus (50) und dem Satz von Lebesgue folgt dann

$$\int_{\kappa_j(A_j)} \d^n q a_j = \sum_{k=1}^{\infty} \int_{\kappa_j(A_j \cap A_k')} \d^n q a_j.$$ (52)

Insbesondere konvergiert die rechts stehende Reihe.

Sei nun weiter $\varphi=\kappa_j \circ (\kappa_k')^{-1}\vert _{\kappa_k'(U_j \cap U_k')}$ der Kartenwechsel und $J_{\varphi}$ die dazugehörige Jacobideterminante. Dann ist für $p \in U_j \cap U_k'$

$$a_k'[\kappa_k'(p)]=a_j[\kappa_j(p)] \det J_{\varphi}[\kappa_k'(p)].$$ (53)

Da die Karten allesamt per definitionem orientierungserhaltend sind, ist die Jacobideterminanten $\det J_{\varphi}>0$. Es ist also

$$\int_{\kappa_k'(A_j \cap A_k')} \d^n q' a_k' = \int_{\kappa_k'(A_... ...\varphi \vert\det J_{\varphi}\vert = \int_{\kappa_j(A_j \cap A_k')} \d^n q a_j,$$ (54)

wo wir den Transformationssatz für Lebesgueintegrale in mehreren Veränderlichen angewandt haben. Die gleiche Argumentation können wir für die Funktionen $\vert a_j\vert$ und $\vert a_k'\vert$ anwenden. Folglich ist also

$$\int_{\kappa_k'(A_k')} \d^n q' a_k' = \sum_{j=1}^{\infty} \int_{\kappa_k'(A_j \cap A_k')} \d^n q' a_k'.$$ (55)

Wir können nun auch über $k$ summieren. Da die in Frage stehenden Reihen allesamt absolut konvergieren, wie aus der Gültigkeit der Bedingung (50) für die jeweiligen Reihen folgt, darf die Reihenfolge der Doppelsumme auf der rechten Seite vertauscht werden, wodurch wir (52) zur Anwendung bringen können. Schließlich finden wir

$$\sum_{k=1}^{\infty} \int_{\kappa_k'(A_k')} \d^n q' a_k' = \sum_{j=1}^{\infty} \int_{\kappa_j(A_j)} \d^n q a_j.$$ (56)

Q.E.D.

Definition 20   Träger einer Form Sei $\omega$ eine $q$-Form ($q \leq n$) über einer $n$-dimensionalen Mannigfaltigkeit $M$. Dann heißt die Menge

$$\mathrm{supp} \; \omega=\overline{\{p \in M\vert \omega_p \neq 0 \}} \subseteq M$$ (57)

Träger⁴.

Satz 7   Satz von Stokes Sei $M$ eine orientierte $n$-dimensionale berandete Mannigfaltigkeit und $\omega$ eine $(n-1)$-Form mit kompaktem Träger. Dann gilt

$$\int_M \d \omega= \int_{\partial M} \omega.$$ (58)

Beweis: Sei zunächst $M=\R_{-}^n$ und $\{x^j\}_{j=1^n}$ die Koordinaten bzgl. eines beliebigen Koordinatensystems. Dann können wir schreiben

$$\omega = \sum_{\mu=1}^{n} f_{\mu} \d x^1 \wedge\cdots \wedge \widehat{\d x^{\mu}} \wedge \ldots \wedge \d x^n,$$ (59)

wobei das Dach wieder für den auszulassenden Faktor im Keilprodukt steht. Dann gilt

$$\begin{split}\d \omega &= \sum_{\mu=1}^{\infty} (\d x^{\nu} \... ..._{\mu} f_{\mu}) \d x^1 \wedge \cdots \wedge \d x^n. \end{split}$$ (60)

Sei weiter $\iota:\{0\} \times \R^{n-1} \rightarrow \R^{n}$ die Inklusionsabbildung, dann ist offenbar

$$\iota^* \d x^1=0, \; \iota^* \d x^{\mu}=\d x^{\mu} \mu \geq 2$$ (61)

und folglich

$$\iota^* \omega = \iota^* f_1 \d x^2 \wedge \ldots \wedge \d x^n.$$ (62)

Die rechte Seite von (58) berechnet sich folglich

$$\int_{\R_-^n} \d \omega = \sum_{\mu=1} \int_{\R_{-}^{n}} \d^n x (... ...\d^{n-1}(x^2,\ldots x^n) f_1(0,x^2,\ldots,x^n) = \int_{\partial \R_-^n} \omega.$$ (63)

Dabei haben wir mit Hilfe des Satzes von Fubini die Integrationsreihenfolge in jedem Summanden vertauscht, so daß zunächst bzgl. $x^{\mu}$ integriert wurde. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ergibt sich dabei nämlich

$$\begin{split}\int_{-\infty}^0 \d x^1 \partial_1 f_1 &= f_1(0,... ...\mu}=0 \text{ f\uml {u}r } \mu \in \{2,\ldots,n \}, \end{split}$$ (64)

denn weil $\omega$ und folglich auch die $f_{\mu}$ nach Voraussetzung kompakten Träger haben sollten, verschwinden die Funktionen stets im Unendlichen. Im letzten Schritt haben wir lediglich die Definition für das Integral der $n-1$-Form benutzt. Damit ist die Behauptung für $M=\R_{-}^n$ bewiesen.

Als nächstes betrachten wir den Fall, daß der Träger von $\omega$ ganz in einem einzelnen Kartengebiet $U$ liegt. Die dazugehörige Karte $(U,\kappa)$ sei orientierungserhaltend, ebenso wie die Einschränkung auf den Rand $\kappa\vert\partial U:\partial U \rightarrow \partial U'$.

Wir wollen nun vermöge der Abbildung $\kappa$ die Behauptung auf den vorigen Fall, also $M=\R_{-}^n$ zurückführen. Dazu benötigen wir

Satz 8   Natürlichkeit des Differentialoperators Seien $M_1$ und $M_2$ $n$-dimensionale Mannigfaltigkeiten und $f:M_1 \rightarrow M_2$ ein Diffeomorphismus. Sei weiter $\omega$ eine $k$-Form in $M_2$. Dann definieren wir $f^* \omega$

$$(f^* \omega)_p(v_1,\ldots,v_k)=\omega_{f(p)} (f^* v_1,\ldots,f^*v_k).$$ (65)

Dabei sind die $f^* v_k$ über die Kurven $s:I \rightarrow M_1$, die die Tangentialvektoren in $T_p M_1$ definieren bestimmt, indem $f^* v_k$ derjenige Tangentialvektor in $T_{f(p)} M_2$ ist, der die Kurve $f \circ s:I \rightarrow M_2$ zum Repräsentanten hat (vgl. die Definition 7). Dann gilt

$$f^* \d \omega=\d(f^* \omega).$$ (66)

Beweis: Wir führen einen Induktionsbeweis in $k$. Sei $(U_1,\kappa_1)$ eine lokale Karte um $p \in M_1$. Da $f:M_1 \rightarrow M_2$ Diffeomorphismus ist, ist auch $(f(U_2),\kappa_2=\kappa_1 \circ f)$ eine lokale Karte.

Sei nun $k=0$. Dann ist $\omega:M_2 \rightarrow \R$ eine differenzierbare Funktion, und es gilt $(f^* \omega)_p=\omega[f(p)]$. Nun gilt in den lokalen Koordinaten $q$ von $M_1$ bzw. $q'$ von $M_2$:

$$\d(f^* \omega)_p=\d(\omega \circ f)_p = [\d \omega_{f(p)}] \circ \d f_p := (f^* \d \omega)_p,$$ (67)

wobei wir die Kettenregel angewendet haben.

Angenommen die Behauptung gelte für alle $0 \leq k<l-1$. Dann gilt für eine $l$-Form $\omega$ auf $M_2$

$$f^* \omega = \frac{1}{l!} f^* \omega_{\mu_1\ldots \mu_{l}} f^* \d q'{}^{\mu_{1}} \wedge \cdots \wedge f^* \d q'{}^{\mu_{l}}.$$ (68)

Aus der Produktregel und der bereits bewiesenen Behauptung für $k=0$ folgt nun wegen $\d \d \equiv 0$, daß

$$\d( f^* \d q'{}^{\mu_1} \wedge \cdots \wedge f^* \d q'{}^{\mu_kl})= \d( \d(f^* q'{}^{\mu_1}) \wedge \cdots \wedge \d(f^* q'{}^{\mu_l})=0$$ (69)

Damit ist also

$$\d (f^* \omega)=\frac{1}{l!} \d(f^* \omega_{\mu_1\ldots \mu_l}) f... ...ots \mu_l} \wedge \d q'{}^{\mu_{1}} \wedge \cdots \wedge f^* \d q'{}^{\mu_{l}},$$ (70)

welch letzterer Ausdruck aber gerade $f^* \d \omega$ ist. Q.E.D.

Kommen wir nun zum Beweis des Stokesschen Satzes zurück, wo wir nun annehmen, daß supp$\;\omega \subseteq U$ ist, wobei $(U,\kappa)$ eine Karte ist. Aus der eben bewiesenen Natürlichkeit von $\d$ folgt dann

$$\int_M \d \omega = \int_{U} \d \omega = \int_{\kappa(U)} \kappa^{-1 *} \d \omega = \int_{\kappa(U)} \d (\kappa^{-1 *} \omega).$$ (71)

Wir können nun $\kappa^{-1*} \omega$ durch 0 außerhalb von $\kappa(U)$ zu einer Differentialform $\omega'$ auf ganz $\R^{n}_{-}$ fortsetzen und den bereits bewiesenen Fall $M=\R_{-}^n$ anwenden:

$$\int_{\kappa(U)} \d(\kappa^{-1*} \omega) = \int_{\R_{-}^n} \d \om... ...al U)} \kappa^{-1*} \omega = \int_{\partial U} \omega=\int_{\partial M} \omega,$$ (72)

womit wir das Stokessche Theorem auch schon für den Fall, daß der Träger von $\omega$ ganz in einem Kartengebiet zu liegen kommt, bewiesen.

Kommen wir nun zum allgemeinen Fall, wo es nicht unbedingt möglich sein muß, daß man eine Karte findet, so daß der Träger von $\omega$ ganz in das einzelne Kartengebiet fällt. Wir führen diesen Fall jedoch dadurch auf den letzteren zurück, indem wir zeigen, daß stets eine Zerlegung $\omega=\omega_1+\cdots+\omega_l$ möglich ist, so daß der Träger eines jeden $\omega_m$ in einem Kartengebiet liegt und die $\omega_m$ allesamt differenzierbar sind.

Zu jedem $p \in$   supp$\; \omega$ sei $(U_p,\kappa_p)$ eine orientierungserhaltende Karte. Da die $U_p$ eine Überdeckung der kompakten Menge supp$\; \omega$ mit offenen Mengen bilden, genügen schon endlich viele $\{U_m \}_{m \in \{1,\ldots,l\}} \subset \{U_p\vert p \in$   supp$\; \omega \}$ zur Überdeckung von supp$\; \omega$. Zu jedem $m$ können wir nun eine Funktion $\lambda_{m}:M \rightarrow [0,1]$ wählen, so daß supp$\; \lambda_{m} \subset U_m$ und kompakt ist. Solche Funktionen existieren stets, denn wir können eine ,,Mollifierfunktion''⁵ mit Träger in $\kappa_m(U_m)$ nach $U_p$ liften. Die Urbilder des Intervalls $(0,1)$ dieser Funktionen $\lambda_m$ überdecken wiederum supp$\omega$, und durch

$$\omega_{mp}= \begin{cases}\frac{\lambda_m}{\sum_{m=1}^l \lambda_m} & \text{f\uml {u}r } p \in \lambda_m^{-1}[(0,1)] \\ 0 & \text{sonst} \end{cases}$$ (73)

haben wir die gewünschte Zerlegung von $\omega$ schon gefunden, und jetzt ist auf jede der Formen $\omega_m$ der bereits bewiesene Fall anwendbar, daß der Träger in eine Karte fällt. Q.E.D.

Wir wollen zur Ergänzung noch die in der Analysis auch sonst sehr nützliche Mollifierfunktion definieren. Zunächst sei

$$f:\R \rightarrow \R, \quad f(x)=\begin{cases}\exp \left(\frac{1}{... ...2} \right) & \text{f\uml {u}r } \vert x\vert<1 \\ 0 & \text{sonst}. \end{cases}$$ (74)

Man zeigt schnell, daß $f \in C_0^{\infty}(\R,\R)$ (Übung!). Ferner ist $f(x)> 0$ für alle $x \in (-1,1)$. Für jede Kugel $K_{\epsilon}(x_0) \subset \R^n$ ist dann

$$\lambda_{\epsilon,x_0}:\R^n \rightarrow \R, \quad \lambda_{\epsilon,x_0}(x)=f(\Vert x-x_0\Vert)$$ (75)

eine $C_0^{\infty}(\R^n,\R)$-Funktion mit supp$\; \lambda_{\epsilon,x_0}=K_{\epsilon}(x_0)$. Dabei bezeichnet $\Vert x\Vert$ die euklidische Norm des $\R^n$.

Die Mollifierfunktion ist anschaulich gesprochen deshalb so wichtig, weil sie zeigt, daß es positiv semidefinite $C^{\infty}$-Funktionen mit beliebig kleinem Träger gibt. Man braucht sie u.a. auch zum Beweis des Fundamentallemmas der Variationsrechnung.

Wir verlassen nun die allgemeinen Mannigfaltigkeiten und wenden uns solchen mit Zusatzstrukturen zu.