Affin zusammenhängende Räume

Bis jetzt haben wir zu jedem Punkt $p \in M$ der Mannigfaltigkeit $M$ nur den Tangentialraum $T_pM$ und den dazugehörigen Kotangentialraum $T_p^*M$ definiert. Weitere natürliche Strukturen waren dann die Tensoren und die Formen. Als die einzige Möglichkeit, unabhängig von den durch Karten gegebenen lokalen Koordinaten Ableitungen und Integrale von diversen Tensorfeldern zu bilden, haben wir die alternierenden Differentialformen gefunden.

Jetzt wenden wir uns der Möglichkeit zu, Vektoren aus verschiedenen Tangentialräumen dadurch miteinander in Zusammenhang zu bringen, daß wir einen gegebenen Vektor in $T_pM$ derart nach $T_{p'} M$, wo $p'$ ein ,,in der Nähe von $p$'' gelegener Punkt sein soll, transportieren, daß der Differenzenquotient unabhängig von den verwendeten Karten wird. Diesen Differenzenquotient nennen wir dann kovariante Ableitung des Vektorfeldes. Wir wollen diese Idee dann auf Tensoren höheren Ranges sowie auf $k$-Formen und gemischte $\binom{k}{k'}$-Tensoren erweitern.

Um eine geometrische Idee zu gewinnen, wie ein solches Konstrukt wohl zu definieren sei, vergegenwärtigen wir uns die Situation im affinen Raum $\R^n$. Dort können wir eine beliebige Menge von linear unabhängigen Vektoren $\{e_i \}_{i \in \{1,\ldots,n\}}$ durch Parallelverschiebung an vom Punkt $p$ jeden Ort transportieren, und Vektorfelder einfach komponentenweise ableiten. Die Konstrukte $\partial_i v^{j}$ bilden dann die Komponenten eines $\binom{1}{1}$-Feldes, das wir als kovariante Ableitung bezeichnen dürfen. Dies ist aber nur möglich, weil die Basisvektoren sowie die dazugehörigen Kotangentialvektoren unabhängig von $p$ definiert sind. Es ist klar, wie diese Konstruktion auf Tensorprodukte und damit auf beliebige Tensoren zu erweitern ist, nämlich durch dieProduktregel. Ansonsten ist diese Differentiation linear.

In einem allgemeinen Raum haben wir diese geometrischen Möglichkeiten nicht, und wir müssen eine Schar von Basisvektoren $\{ e_i(p) \}_{p \in M, i \in \{1,2,\ldots,n \}} \subset TM$ und die dazugehörige Dualbasis $\{\omega^j(p)\}$ auszeichnen. Damit wir ohne Probleme differenzieren können, müssen die Tangentialbasis- und Kotangentialbasisvektoren differenzierbar sein. Wir nennen solche Basen kurz $n$-Bein-System.

Sei also ein solches $n$-Bein-System vorgegeben. Wir wollen nun definieren, wie $e_j(p)$ entlang einem Vektor $u \in T_p M$ parallel zu verschieben sei, indem wir zunächst den Operator $\D$ vermöge einer beliebigen Schar $\{\omega_j\}$ von $\binom{1}{1}$-Feldern gemäß

$$\D e_j = \omega_j ={L^i}_{jk} e^k \otimes e_i$$ (76)

definieren. Die Parallelverschiebung des Basisvektors entlang des Vektors $u$ ergibt sich dann durch Anwenden dieser Form auf $u=u^k e_k$:

$$\D_{u} e_j=\omega_j(u)={L^{i}}_{jk} e_i \otimes e^k(u) = e_i {L^i}_{jk} u^k.$$ (77)

Um nun die Produktregel, deren Gültigkeit wir ja für die kovariante Ableitung definitionsgemäß voraussetzen wollen, auf ein beliebiges Vektorfeld anwenden zu können, müssen wir noch definieren, daß für ein Skalarfeld, also eine Nullform $f:M \rightarrow \R$ gelten soll $\D f=\d f$. Dann haben wir

$$\D v =\D(v^j e_j)=(\d v^j) \otimes e_j + v^j \omega_j.$$ (78)

Von jetzt an arbeiten wir in der holonomen Basis bzw. Kobasis einer lokalen Karte, für die

$$\D v=(\partial_k v^j + v^i {L^j}_{ik}) \d q^k \otimes \partial_j := {v^j}_{;k} \d q^k \otimes \partial_j$$ (79)

gilt. Aus dieser expliziten Darstellung der Komponenten der covarianten Ableitung ${v^j}_{;k}$ läßt sich leicht das Transformationsverhalten der Konnexionskoeffizienten ${L^i}_{jk}$ bzgl. Koordinatenbasen herleiten. Die ${v^j}_{;k}$ müssen ja die Komponenten eines Tensors vom Range $\binom{1}{1}$ sein, d.h.

$${{v'}^{j'}}_{;k'}= {v^j}_{;k} \frac{\partial q^k}{\partial{q'}^{k... ...l q^{j'}}{\partial q^j} := \partial_{k'}' {v'}^{j'} +{{L'}^{j'}}_{i' k'} v^{i'}$$ (80)

Andererseits ist

$$\partial'_{k'} {v'}^{j'}=\frac{\partial q^k}{\partial {q'}^{k'}} ... ...rtial q^j} + v^i \frac{\partial^2{q'}^{j'}}{\partial q^i \partial q^k} \right].$$ (81)

Vergleicht man die beiden letzten Gleichungen, erhält man folgenden Zusammenhang zwischen den Konnexionskoeffizienten in den verschiedenen lokalen Koordinaten:

$${L^j}_{ik} \frac{\partial q^k}{\partial {q'}^{k'}} \frac{\partial... ...q^k}{\partial {q'}^{k'}} \frac{\partial^2 {q'}^{j'}}{\partial q^i \partial q^k}$$ (82)

Anwendung der inversen Jacobimatrizen der rechten Seite ergibt dann schließlich

$${L^i}_{jk} = {{L'}^{j'}}_{i'k'} \frac{\partial {q'}^{i'}}{\partia... ... {q'}^{j'}}{\partial q^i \partial q^k} \frac{\partial q^j}{\partial {q'}^{j'}}.$$ (83)

Die Konnexionskoeffizienten transformieren sich also nicht wie Tensorkomponenten der Stufe $\binom{1}{2}$, wie man aus der Indexstellung vermuten würde. Vielmehr transformieren sie sich inhomogen. Der inhomogene Term kompensiert gerade das entsprechende Fehlen der Tensoreigenschaft der partiellen Ableitungen $\partial_k v^j$, welches wir im folgenden dem Lehrbuchgebrauch folgend auch häufig als ${v^j}_{,k}$ schreiben werden.

Da die partiellen zweiten Ableitungen miteinander vertauschen, bildet die Antisymmetrisierung der Konnexionskoeffizienten bzgl. des Indexpaares $(jk)$ Komponenten eines Tensorfeldes der Stufe $\binom{1}{2}$, welches man als Torsionstensorfeld der Mannigfaltigkeit mit Torsion bezeichnet:

$${T^i}_{jk}:=2 {L^i}_{[jk]} = {L^i}_{jk}-{L^i}_{kj}.$$ (84)

In dem Falle, daß die Konnexionskoeffizienten bzgl. einer (und damit jeder) Koordinatenbasis bzgl. der unteren Indizes symmetrisch sind, bezeichnet man die Konnexion bzw. die Mannigfaltigkeit mit Konnexion alstorsionsfrei.

Wir wollen noch kurz auf die geometrische Bedeutung der Konnexion eingehen. Der Grund, warum die partiellen Ableitungen der Vektorkomponenten keinen Tensor bilden, ist ja darauf zurückzuführen, daß die Differenzenbildung an verschiedenen Punkten der Mannigfaltigkeit erfolgt. Sei $\kappa$ eine lokale Karte um $p$ mit den lokalen Koordinaten $q^i$ und $v(q)$ ein Vektorfeld in lokalen Koordinaten. Damit wir eine koordinatenunabhängige Differenz zwischen $v(q)$ und $v(q +\d q)$ bilden können, müssen wir die Vektoren voneinander abziehen. Die Komponenten des Vektors beziehen sich aber auf die verschiedenen Koordinatenbasen an den verschiedenen Punkten, die durch die lokalen Koordinaten $q^j$ bzw. $q^j+\d q^j$ parametrisiert sind. Die Änderung der Komponenten aufgrund der Parallelverschiebung ist gerade durch $\delta v^i={L^i}_{jk} v^j \d q^k$ gegeben. Die ${L^i}_{jk}$ sind willkürlich wählbar und definieren, was Parallelverschiebung bzgl. lokaler Koordinatenbasen konkret zu bedeuten hat. Die einzige Forderung ist, daß die Konnexionskoeffizienten $C^{\infty}$ Funktionen bzgl. der lokalen Koordinaten sind und sich gemäß (83) unter Kartenwechseln transformieren.

Zusammen mit der Forderung nach Verträglichkeit der kovarianten Ableitung mit der Differentialbildung für Nullformen ergeben sich die Rechenregeln für andere Tensorkomponenten als kontravariante Vektorkomponenten. Leiten wir als Beispiel die kovariante Ableitung einer $1$-Form her. Wir fragen also, wie sich die Komponenten $\omega_j$ einer Form $\omega=\omega^j \d q_j$ transformieren. Es muß gelten:

$$\d (\omega_j v^j)=(\D \omega_j) v^j + \omega_j (\D v^j) = (\D \om... ...\omega_j ({v^j}_{;k} \d q^k) \stackrel{!}{=} (\d \omega_j) v^j+\omega_j \d v^j.$$ (85)

Wendet man im vorletzten Term 79 an und löst nach $\D \omega_j$ auf, erhält man⁶

$$\D \omega_j = (\partial_k \omega_j - \omega_i {L^i}_{jk}) \d q^k,$$ (86)

also für die Komponenten der kovarianten Ableitung

$$\D_k \omega_j:=\omega_{j;k} = \partial_k \omega_j - \omega_i {L^i}_{jk},$$ (87)

die per constructionem die Komponenten eines $\binom{0}{2}$-Tensors bilden. Aus dieser Gleichung folgt noch

$$\D_{[k} \omega_{j]} = \partial_k \omega_j-\partial_j \omega_k - \omega_i {T^{i}}_{jk},$$ (88)

wobei wir uns der Definition (84) des Torsionstensors bedient haben. Dies macht die spezielle Bedeutung der torsionsfreien Konnexionen deutlich: Genau für diese Räume gehen durch Antisymmetrisieren die kovarianten Ableitungen von Formen in die Cartanableitung des Kalküls der alternierenden Differentialformen über.

Jetzt können wir per Produktregel die kovariante Ableitung für beliebige Tensoren bestimmen. Dazu benötigen wir nur die Vorschriften zur kovarianten Ableitung der Koordinatenbasis und -kobasis, die aus den allgemeinen Vorschriften (79) und (87) folgen:

$$\begin{split}\D_k \partial_j &= {L^i}_{jk} \partial_i \\ \D_k \d q^j &= -\d q^l {L^j}_{lk} \end{split}$$ (89)

Damit folgt z.B. die kovariante Ableitung eines Tensorfeldes $\omega$ der Stufe $\binom{0}{2}$:

$$\begin{split}\D \omega &= \d q^k \otimes \D_k (\omega_{lm} \d... ...} {L^n}_{mk}) \d q^k \otimes \d q^l \otimes \d q^m. \end{split}$$ (90)