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Einleitung

In dieser FAQ werden die grundlegenden geometrischen Methoden der modernen Physik ausführlich dargestellt. Dabei beschränken wir uns (bis auf einen kurzen Ausflug in die Theorie klassischer Eichfelder) auf die grundlegenden Tatsachen, die der Beschreibung von Raum und Zeit in der klassischen relativistischen Physik zugrundeliegen. Dies bedeutet im wesentlichen, daß wir uns mit differenzierbaren Mannigfaltigkeiten endlicher Dimensionszahl zu beschäftigen haben.

Beim Leser wird die Kenntnis der linearen Algebra und der Analysis in mehreren reellen Veränderlichen vorausgesetzt, wie sie in einer Standardvorlesung im Grundstudium vermittelt wird.

Es sei noch kurz die Motivation dieser Betrachtungen beleuchtet.

Alle physikalischen Theorien beginnen mit der Beschreibung der Verhältnisse in Raum und Zeit. Es ist Einsteins größtes Verdienst, den Physikern diese eigentlich selbstverständliche Erkenntnis deutlich ins Bewußtsein zu rufen, und es ist diese Tatsache, daß heute die Physik mit mathematischen Konstrukten von größter ästhetischer Schönheit bevölkert ist. Man könnte sogar sagen, daß die theoretische Physik zu einem guten Teil angewandte Differentialgeometrie darstellt.

Wir gehen noch kurz auf die Unterschiede ein, die einer spezifisch für Physiker geschriebenen Darstellung des Gegenstandes und einer rein mathematisch motivierten zugrundeliegen. Die Mathematik stellt sich uns heute zum größten Teil als Strukturmathematik dar. Das bedeutet, daß der wesentliche mathematische Gehalt in dem Bestreben besteht, Strukturen mit minimalen Voraussetzungen also von größter Allgemeinheit zu studieren. Ein Mathematiker wird daher unser Gebiet mit einer dezidierten Analyse der lokalen Strukturen der allgemeinst möglichen topologischen Räume beginnen und erst nach Ausschöpfung der möglichst strukturarmen Voraussetzungen zu weiteren Annahmen übergehen.

Für den Physiker kommt es vielmehr darauf an, aus diesem Sammelbecken der allgemeinstmöglichen Strukturen genau diejenigen herauszufischen, die er für seine praktische Arbeit, nämlich die Beschreibung von experimentellen Vorgängen im Labor, benötigt. Ist erst einmal diese besondere Struktur gefunden, kann er sich der vom Mathematiker entwickelten Erkenntnisse bedienen um Schlußfolgerungen für die weitere Arbeit zu ziehen.

Nun ist aber auch bei Beschränkung der Mathematik auf die für die Physik notwendigen Teilbereiche, nämlich die oben genannten endlichdimensionalen $ C^\infty$-Mannigfaltigkeiten der Gegenstand keine ganz leichte Kost, zumal die meisten Lehrbücher der theoretischen Physik in ihren mathematischen Methoden, und das fängt allein schon bei der Notation an, sich auch zum Ausgang des 20. Jahrhunderts immer noch den Meistern des 19. Jh. verpflichtet fühlen. Eine rühmliche Ausnahme machen da nur die Gravitationsphysiker, die längst entdeckt haben, daß die moderne Betrachtungsweise das physikalische Denken durchaus erleichtert indem in einer eleganten Schreibweise bereits die wesentlichen Ideen, die der Beschreibung der Theorie zugrundeliegen, offen zutage tritt. Wichtig dabei ist nicht zuletzt, daß schon die Begriffsbildung der Mannigfaltigkeit darauf abzielt, von den lokalen Koordinaten abzulenken, die in der für Physiker üblichen Notation im Vordergrund stehen. Auf der anderen Seite gehört es aber gerade zu den Grundprinzipien der modernen Theoriebildung, die Symmetrien unter bestimmten Koordinatentransformationen als Grundlage voranzustellen.

Gleichwohl ist der an Indexpracht unübertreffliche Riccikalkül ein unverzichtbares Hilfsmittel, wenn man physikalische Texte überhaupt lesen können will. Außerdem wird auch deutlich, was in einer konkreten Situation, wenn also der theoretische Physiker sich tatsächlich einmal der Aufgabe gegenübergestellt sieht, tatsächlich Zahlen ausrechnen zu müssen, wirklich zu tun ist.

Es sei daher zur Motivation der vielleicht für manchen etwas spröde erscheinenden mathematischen Konstrukte eine kurze Zusammenfassung für die konkrete Bedeutung der Differentialgeometrie in einigen Teildisziplinen der Physik gegeben.

Dies beginnt schon bei der Begegnung mit der allereinfachsten Theorie, die wir in den Schulen und Universitäten zuerst beigebracht bekommen, nämlich der Newtonschen Mechanik. Da ist zuallererst von der Struktur des Raumes und der Zeit die Rede. Meist werden ohne Umschweife gleich Maßstäbe und Uhren eingeführt, so daß die uns anschaulich so vertraut erscheinenden Selbstverständlichkeiten sofort in einen vierdimensionalen reellen Raum abgebildet werden, und dann rechnen wir eben munter in diesem $ \R^4$-Vektorraum ohne weiter Kontakt mit Raum und Zeit, wie wir sie täglich erleben, aufzunehmen. In der Sprache der Mannigfaltigkeiten kann uns das nicht passieren, weil da klar zum Ausdruck kommt, daß es sich hierbei um lokale Karten der Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit handelt. Schon diese Sprachregelung trägt ungeheuer zur Präzision unserer Auffassung von Raum und Zeit bei, zeigt sie doch, daß der naive Gebrauch von reellen Zahlräumen bereits einiges an Struktur präjudiziert. Wir werden die allgemeinen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten im ersten Kapitel behandeln und bemerken, daß diese in der Tat viel zu allgemein sind als daß sie etwa Newtons Raum-Zeit beschreiben würden. Vielmehr brauchen wir noch einige Zusatzstrukturen um schließlich bei der bekannten euklidischen Form des Raumes und des davon vollends entkoppelten gerichteten Zeitstrahls zu gelangen.

Die weitere Betrachtung der Punktmechanik, die wir nach der Entwicklung der Newtonschen Raum-Zeit vollends im neuen Gewand präsentieren werden, zeigt, daß auch dies nicht unbedingt die vorteilhafteste Beschreibung darstellt, können wir doch von Newton sogleich ins 19. Jh. zu Hamilton springen und die Newtonsche Raum-Zeit scheinbar vollkommen verlassend zur Beschreibung im sog. ``Phasenraum'' übergehen. Auch dies ist wieder, wie könnte es anders sein, eine spezielle Mannigfaltigkeit, nämlich ein Kotangentialfaserbündel mit symplektischer Struktur. Diese Erkenntnis gestattet dann so wichtige Untersuchungen wie den Unterschied zwischen integrablen und nichtintegrablen dynamischen Systemen, und dies erregt seit einigen Jahren sogar schon wieder die interessierte Öffentlichkeit in Form der sog. ``Chaostheorie'', so daß die klassische Mechanik, dieses Urgestein aller physikalischen Forschung, wieder in den Interessenbereich moderner Grundlagenforschung gerückt ist.

Die Newtonsche Mechanik verlassend wenden wir uns sodann der relativistischen Physik zu, die uns jetzt nicht weiter erschrecken kann, haben wir doch jetzt einige Übung im Umgang mit Mannigfaltigkeiten und den verschiedensten Zusatzstrukturen, die wir je nach Bedarf modifizieren um der Natur ein Stück näherzurücken. Das klassische Anwendungsfeld ist die Maxwellsche Elektrodynamik, die wir in einiger Vollständigkeit auf zwei Seiten aufschreiben können, wenn wir uns erst einmal auf die differentialgeometrische Sprache einlassen. Die Elektrodynamik verliert viel von ihrem bei Studenten berüchtigten Schrecken, wenn sie in harmlos aussehenden Gleichungen daherkommt, und die Integralsätze erst einmal in allgemeinster Form zu dem einen Stokesschen Satz zusammengefaßt sind, der den Kopf für das wesentliche so schön frei hält. Auch das Poincarésche Lemma faßt all die Integrabilitätsbedingungen zusammen, was dann auch prompt aus dem Sammelsurium der Potentiale in klassischen Lehrbüchern zu einer wirklich einfachen Beschreibung durch ein einziges Potential führt.

Da wir nun schon einmal mitten bei Faraday und Maxwell gelandet sind, konnte ich mich nicht mehr zurückhalten, auch noch die allgemeinen Eichtheorien, die differentialgeometrisch Ergänzungen der Struktur der Tangentialbündel zum Faserbündel bedeuten. Das ist aber insofern eine Abschweifung als Liegruppen und -algebren benötigt werden, die wir hier lediglich in ihrer konkreten Form als Untergruppen der $ \GL(\R^n)$1 und nicht in ihrer vollen Abstraktheit verwenden wollen.

Es ist klar, daß in einer Darstellung des zur Diskussion stehenden Themenbereichs als krönender Abschluß auch die Theorie nicht fehlen darf, die uns Physiker mit all diesen Schönheiten konfrontiert hat, nämlich Einsteins allgemeine Relativitätstheorie.

Aus Platzgründen konnte ich leider nicht auf alle in der Physik auftretenden Strukturen eingehen. So fehlen leider (fast) vollständig Liegruppen und -algebren, die eine Klassifikation der betrachteten Strukturen nach ihrer Symmetrie ermöglichen. Dieses von Felix Klein in seinem Erlanger Programm aufgestellte ``Forschungsprogramm'', nämlich die Konstruktion geometrischer Theorien aus Symmetrieforderungen, ist Standardverfahren der die Bändigung des Zoos der Elementarteilchen ermöglichenden Quantenfeldtheorie, und deren Nachfolgern, deren physikalischen Gehalt wir aber noch lange nicht vollständig überblicken.

Zum Schluß sei betont, daß, obschon dieser Text für einen FAQ-Artikel schon ziemlich lang ist, die Darstellung doch relativ knapp ist. Andererseits habe ich aber auch versucht, durch kleine Einschübe das Verständnis zu erleichtern. Wer nur wissen will, was Sache ist, braucht nur die Definitionen und Sätze zu lesen. Allerdings sollte er auch die eingestreuten Aufforderungen zur aktiven Teilnahme an den Ergüssen des Autors Folge leisten. Es handelt sich zwar stets um Trivialitäten, die lediglich kurz niedergeschrieben zu werden brauchen, jedoch regen solche Trivialitäten zum Denken an ohne das Gehirn unnötig zu überfordern, und das wiederum trainiert den aktiven lockeren Umgang mit den mathematischen Konstrukten, was dem Physiker stets nützlich ist!




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