Grundlegende Definitionen

In diesem Abschnitt entwickeln wir den allgemeinen Begriff der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten. Zunächst rekapitulieren wir die allernötigsten Grundbegriffe der mengentheoretischen Topologie.

Definition 1 (Topologie)  

Sei $M$ eine beliebige Menge, deren Elemente wir als Punkte bezeichnen. Erfülle nun $\mathcal{O} \subseteq \mathcal{P} M$ die folgenden Eigenschaften

(T1)

$\emptyset \in \mathcal{O}$ und $M \in \mathcal{O}$.

(T2)

Ist $I$ eine beliebige Indexmenge und $O_k \in \mathcal{O}$ für alle $k \in I$, so ist auch $\owncup_{k \in I} O_k \in \mathcal{O}$.

(T3)

Ist $I$ eine endliche Indexmenge und $O_k \in \mathcal{O}$, so ist auch $\owncap_{k \in I} O_k \in \mathcal{O}$.

Dann heißt $\mathcal{O}$ eine Topologie von $M$.

Eine Teilmenge von $M$ heißt genau dann offen, wenn sie in $\mathcal{O}$ enthalten ist. Jede Teilmenge $A$ von $M$, die als Komplement einer offenen Menge $O$ von $M$ geschrieben werden kann (also $A=M \setminus O$), heißt abgeschlossen.

Ist $p \in M$. Eine Teilmenge $U$ heißt Umgebung von $p$, wenn $p \in U$ und eine offene Teilmenge $O$ von $U$ ebenfalls $p$ enthält. Die Menge aller Umgebungen von $p$ bezeichnen wir mit $\mathcal{U}(p)$.

Ein topologischer Raum heißt Hausdorffraum, wenn sich zwei Punkte stets durch Umgebungen trennen lassen, d.h.

(H)

Zu zwei Punkten $p_1 \neq p_2 \in M$, existieren stets Umgebungen $U_1 \in \mathcal{U}(p_1)$ und $U_2 \in \mathcal{U}(p_2)$, so daß $U_1 \cap U_2 = \emptyset$.

Die geometrische Sprache der obigen Definitionen legt es nahe, daß ihr als heuristisches Modell der Anschauungsraum zugrundeliegt. In der Tat ist es eine einfache Übung für den Leser zu prüfen, daß der euklidische Punktraum eine Topologie erhält, indem man eine Menge $O$ als offen definiert, wenn es zu jedem Punkt $P \in O$ eine Kugel um $O$ gibt, die ganz in $O$ enthalten ist. Es ist klar, daß auf diese Weise auch einem beliebigen metrischen Vektorraum eine Hausdorfftopologie aufgeprägt werden kann.

Topologien spielen deshalb eine so große Rolle in der höheren Analysis, weil sie den Begriff der Stetigkeit von Funktionen aus der reellen oder komplexen Analysis auf wesentlich allgemeinere Mengen zu verallgemeinern gestatten. Dies wird durch den soeben definierten Umgebungsbegriff wie folgt ermöglicht:

Wir bemerken sogleich, daß für eine Untermenge $M' \subseteq M$ dadurch eine Topologie $\mathcal{O'}$ definiert werden kann, daß man $O'$ als offen definiert, wenn es eine offene Menge $O$ in der ursprünglichen Topologie $\mathcal{O}$ gibt, so daß $O'=O \cap M'$. Diese Topologie bezeichnen wir als die von $\mathcal{O}$ auf der Untermenge $M'$ induzierte Topologie.

Definition 2 (Stetigkeit von Abbildungen topologischer Räume)   Seien $M_1$ und $M_2$ topologische Räume mit den Topologien $\mathcal{O}_1$ bzw. $\mathcal{O}_2$. Dann heißt $f:M_1 \rightarrow M_2$ stetig in $p_1 \in M_1$, wenn es zu jedem $U_2 \in \mathcal{U}[f(p_1)]$ eine Umgebung $U_1 \in \mathcal{U}(p_1)$ gibt, so daß $f(U_1) \subseteq U_2$ ist.

Es ist klar, daß diese Definition für reelle oder komplexe Funktionen mit dem gewöhnlichen Stetigkeitsbegriff übereinstimmt, wenn die übliche durch den Betrag bzw. eine Metrik induzierte Topologie benutzt wird.

Nun ist es nicht schwer zu zeigen, daß sich zwei topologische Räume zumindest lokal identifizieren lassen, wenn man eine stetige umkehrbare Abbildung zwischen offenen Mengen derselben angeben kann:

Definition 3   Homöomorphismus Seien $M_1$ und $M_2$ zwei topologische Räume, $p_1 \in M$. Existiert nun eine Umgebung $U_1 \in \mathcal{U}(p_1)$ und eine stetige Abbildung $f:U_1 \rightarrow M_2$ und ist die Koeinschränkung $\tilde{f}:U_1 \rightarrow f(U_1); \; p_1 \mapsto f(p_1)$ bijektiv und die Umkehrabbildung $\tilde{f}^{-1}:f(U_1) \rightarrow U_1$ ebenfalls stetig. Dann heißt $f$ ein in $p_1$ lokaler Homöomorphismus.

Zwei topologische Räume heißen homöomorph, wenn es einen globalen Homöomorphismus $f:M_1 \rightarrow M_2$ gibt.

Jetzt nutzen wir diese Begriffe aus, um Räume zu definieren, die lokal aussehen wie der $\R^n$, d.h. für die es um jeden Punkt einen lokalen Homöomorphismus auf eine offene Umgebung in $\R^n$ gibt. Es ist dann nämlich das Tor geöffnet um alle Begriffe der reellen Analysis auf diese topologischen Räume anzuwenden, insbesondere können wir alsbald differenzieren und auf diese Weise jede Menge Zusatzstrukturen etablieren.

Definition 4 (Karten und Atlanten)   Sei $M$ ein topologischer Hausdorffraum. Gibt es nun um jeden Punkt $p$ einen lokalen Homöomorphismus $\kappa:U_{\kappa} \rightarrow V_{\kappa} \subset \R^n$, wobei $U_{\kappa} \in \mathcal{U}(p)$, so heißt $\kappa$ Karte um $p$ und $U_{\kappa}$ das dazugehörige Kartengebiet.

Sind nun $\kappa_1$ und $\kappa_2$ Karten um $p_1$ und $p_2$, so heißen diese verträglich, wenn entweder die Bilder der Kartengebiete $V_1$ und $V_2$ leeren Schnitt haben, oder wenn die Abbildung

$$\kappa_1 \circ \kappa_2^{-1}: V_1 \cap V_2 \rightarrow V_1 \cap V_2$$ (1)

ein $C^{\infty}$-Diffeomorphismus ist.

Dabei heißt eine Abbildung $\delta:V \rightarrow V$ mit offenem $V \subseteq \R^n$ $C^{\infty}$-Diffeomorphismus, wenn sie bijektiv, beliebig oft differenzierbar ist und die Umkehrfunktion auch genau diese Eigenschaften aufweist.

Eine Familie von Paaren $\{(\kappa_j,U_j)\}_{j \in I}$ (wobei $j$ eine geeignete Indexmenge $I$ durchläuft) aus Karten und Kartengebieten heißt Atlas, wenn alle Karten untereinander verträglich sind und die $U_j$ den ganzen topologischen Raum überdecken: $\owncup_{j} U_j = M$ ist.

Zwei Atlanten heißen verträglich, wenn ihre Vereinigung wieder einen Atlas ergibt.

Wir bemerken sofort, daß die Verträglichkeit von Atlanten eine Äquivalenzrelation ist, d.h. bezeichnen wir mit $\sim$ die Verträglichkeit von Atlanten, so gilt: $\mathcal{A} \sim \mathcal{A}$, $\mathcal{A}_1 \sim \mathcal{A}_2 \Leftrightarrow \mathcal{A}_2 \sim \mathcal{A}_1$ und aus $\mathcal{A}_1 \sim \mathcal{A}_2$ und $\mathcal{A}_2 \sim \mathcal{A}_3$ folgt stets auch $\mathcal{A}_1 \sim \mathcal{A}_3$.

Definition 5 (Differenzierbare Mannigfaltigkeiten)   Ein topologischer Hausdorffraum, auf dem sich eine Äquivalenzklasse verträglicher Atlanten definieren läßt, heißt differenzierbare Mannigfaltigkeit.

Wir werden der Kürze halber kurz von Mannigfaltigkeit sprechen, wenn wir differenzierbare Mannigfaltigkeit meinen.

Nach all diesen abstrakten Ausführungen schauen wir ein bißchen voraus und diskutieren die Implikationen, die sich aus diesen Betrachtungen für die Physik ergeben. Wie schon in der Einleitung ausführlich dargelegt, ist die erste Anwendung dieser mathematischen Konstruktionen die Aufstellung eines Modells zur Beschreibung der Raum-Zeit. In diesem Fall scheint es uns durch die Anschauung, also unser räumliches und zeitliches Empfinden, ziemlich klar zu sein, was wir darunter verstehen wollen. Ein Blick in die europäische Geistesgeschichte würde uns nun alsbald eines besseren belehren, ist doch das Problem der genauen Definition, was Raum und Zeit eigentlich ist, von der Antike an in der philosophischen Literatur immer wieder diskutiert worden. Wir wollen uns hier auf den Standpunkt des Physikers zurückziehen und die Raum-Zeit durch eine differenzierbare Mannigfaltigkeit definiert ansehen, der geeignete Zusatzstrukturen aufzuprägen sind, damit wir Meßvorschriften für Raum und Zeit definieren können. Es wird hier übrigens deutlich, daß Physik keinesfalls eine im naiven Sinne empirische Wissenschaft ist, sondern Theorie und Experiment einander wechselseitig bedingen. Es ist nämlich schlichtweg unmöglich, überhaupt auch nur Meßvorschriften zu definieren, die eine quantitative Beschreibung ermöglichen, ohne ein mathematisches Modell in der Hand zu haben, das uns die Definition der zu messenden Größen ermöglicht. Es ist aber auch klar, daß die dabei verwendeten mathematischen Strukturen damit selbst dem physikalischen Test unterzogen werden müssen, d.h. die durch mathematische Sätze gegebenen Implikationen werden zu Sätzen über physikalische Beobachtungsgegenstände, so daß die Aussage, daß Raum und Zeit durch die eine oder andere Mannigfaltigkeitsstruktur beschrieben wird, sich als konsistent mit den Resultaten von Messungen zu erweisen hat, die selber durch sie definiert werden. Zu diesem Problemkomplex sei dem Leser die sorgfältige Lektüre des Anfangskapitels von [Ein90] empfohlen.