Abbildungen und Ableitungen

Nunmehr haben wir jedenfalls Mannigfaltigkeiten vollständig definiert. Haben nun Mathematiker eine Struktur erst einmal festgelegt, ist sie auch schon wieder recht langweilig geworden und um wieder ein bißchen mehr Spannung in die Sache zu bringen, schreiten sie alsbald zur Untersuchung der Abbildungen von Strukturen und unterwerfen diese besonderen Eigenschaften, die zu denen der definierten Struktur passen. Unsere Differenzierbarkeitsforderung an die Karten zwingt uns geradezu die Definition differenzierbarer Abbildungen auf:

Definition 6 (Differenzierbarkeit von Abbildungen)   Seien $M_1$ und $M_2$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und $\kappa_1:M_1 \rightarrow V_1 \subseteq \R^{n_1}$ und $\kappa_2:M_2 \rightarrow V_2 \subseteq \R^{n_2}$ lokale Karten um $p_1 \in M_1$ bzw. $p_2=f(p_1) \in M_2$. Dann heißt $f$ differenzierbar in $p_1$ wenn die Abbildung

$$\kappa_2 \circ f \circ \kappa_1^{-1}:V_1 \rightarrow V_2: \; (q^1,q^2,\ldots,q^{n_1}) \mapsto (p^1,p^2,\ldots,p^{n_2})$$ (2)

differenzierbar in $\kappa_{1}(p_1)$ ist.

Hierbei sei betont, daß die $(q^k)_{k=1,\ldots,n_1}$ das $n_1$-Tupel $\kappa_1(p_1)$ bezeichnen. Daß wir die Indizes oben hingeschrieben haben wird sogleich noch näher begründet werden und sich als äußerst nützlich erweisen. Wir bezeichnen die $q^k$ auch alslokale Koordinaten von $p_1$ bzgl. der Karte $\kappa_1$.

Es ist übrigens sofort klar, daß die Wahl der Karten aus einem beliebigen Atlas dabei keine Rolle spielt, denn aufgrund der Verträglichkeit der Karten ist eine Funktion $f$ genau dann bzgl. zwei Karten $\kappa_1'$ und $\kappa_2'$ differenzierbar, wenn dies für dazu verträgliche Karten $\kappa_1$ bzw. $\kappa_2$ der Fall ist.