Tangentialräume

Als nächstes wollen wir die Differenzierbarkeitsstruktur der Mannigfaltigkeit nutzen indem wir Tangentenvektoren definieren. Die hier gegebene Definition ist nur eine von vielen Möglichkeiten, die für Physiker allerdings besonders anschaulich ist und direkt der Definition der Geschwindigkeit eines Teilchens entlang einer Bahn im $\R^3$ abgeschaut ist. Jedoch hier wieder die allgemeine:

Definition 7 (Tangentialvektor an eine gegebene Kurve)   Wir setzen in der vorigen Definition $M_1=[t_1,t_2] \subset \R$ und $M_2=M$, wobei M eine beliebige $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit bezeichnet. Sei dann $s:[t_1,t_2] \rightarrow M$ mit $s(\tau)=p$, wobei $\tau \in (t_1,t_2)$, und $s$ stetig differenzierbar in $\tau$. Dann heißt $s$ Kurve um $p \in M$.

Weiter definieren wir zwei Kurven $s_1$ und $s_2$ als tangentialäquivalent in $p$, wenn für eine beliebige Karte $\kappa$ um $p$ gilt

$$s_1 \sim_p s_2 \Leftrightarrow \frac{\d}{\d t} \kappa \circ s_1(\tau) = \frac{\d}{\d t} \kappa \circ s_2(\tau') s_1(\tau)=s_2(\tau')=p.$$ (3)

Die Äquivalenzklasse $[s]_p$ bzgl. dieser Äquivalenzrelation heißtTangentialvektor in $p$ an die Kurve $s$.

Die Menge aller Tangentialvektoren in $p$ ist heißtTangentialraum in $p$ und wird mit $T_pM$ bezeichnet.

Die Menge

$$TM=\{\{p\} \times T_pM\vert p \in M \}$$ (4)

heißt Tangentialbündel im $M$.

Überhaupt bezeichnen wir an jedem Punkt einer Mannigfaltigkeit realisierte zusätzliche Strukturen als Faserbündel. In diesem Falle haben wir gesehen, daß das Tangentialbündel an jedem Punkt des Raumes sozusagen den dazugehörigen Tangentialraum anheftet.

Vergegenwärtigen wir uns die Mannigfaltigkeit als Fläche im Anschauungsraum, was dem Leser ohnehin wärmstens empfohlen sei, ist uns sofort klar, daß wir $T_pM$ mit Hilfe der Karten mit der Vektorraumstruktur von $\R^n$ versehen können. Dies formulieren wir ordentlich in der folgenden Form

Satz 1 (Vektorraumstruktur von $T_pM$)   Sei $\kappa$ eine Karte um $p \in M$. Dann definieren wir die Abbildung

$$\d \kappa: T_pM \rightarrow \R^n: \; \d \kappa([s]_p) = \frac{\d}{\d t} \kappa \circ s(\tau),$$ (5)

wobei wir $s(\tau)=p$ angenommen haben. Diese Abbildung ist wohldefiniert auf $T_pM$, d.h. unabhängig von der Wahl des Repräsentanten $s$ und bijektiv.

Beweis: Daß $\d \kappa$ wohldefiniert und injektiv auf $T_p$ ist, d.h. unabhängig von der Wahl des Repräsentanten $s$ von $[s]_p \in T_pM$ ist und $\d \kappa([s_1]_p)= \d \kappa([s_2]_p)$ allemal $[s_1]_p=[s_2]_p$ nach sich zieht, folgt unmittelbar aus der Definition der Äquivalenzklassen $[s]_p$.

Als nächstes wollen wir zeigen, daß $\d \kappa$ surjektiv ist, d.h. wir müssen zu einem gegebenen Vektor $\vec{v} \in \R^n$ einen Tangentialvektor $[s]_p$ aus $T_pM$ angeben, so daß $\d \kappa([s]_p)=v$ ist. Da $\kappa(U_{\kappa})$ offen ist und $p$ enthält, existiert $\epsilon>0$ derart, daß die Abbildung

$$s_v:[-\epsilon,\epsilon] \rightarrow M: \; s_v(t)=\kappa^{-1}(q+t v) s_v(0)=p$$ (6)

wohldefiniert und differenzierbar ist. Nach Definition der Abbildung $\d \kappa$ gilt

$$\d \kappa([s_v]_p) = \frac{\d}{\d t} \kappa \circ s_v(t)\vert _{t=0} = \frac{\d}{\d t} (q+t v)_{t=0}=v.$$ (7)

Also ist $\d \kappa$ surjektiv. Nach der obigen Bemerkung, daß diese Abbildung auch injektiv ist, ist sie folglich bijektiv.

Jetzt definieren wir die Vektorraumstruktur auf $T_pM$ einfach kurzerhand dadurch, daß wir $\d \kappa$ zum Vektorraumisomorphismus erklären:

$$\begin{split}& \forall [s_1]_p,[s_2]_p \in T_p M: \; [s_1]_p+... ... [s]_p := \d \kappa^{-1}[ \alpha \d \kappa([s]_p)]. \end{split}$$ (8)

Daß diese Definition sinnvoll ist, zeigt sich unmittelbar daraus, daß die die Tangentialvektoren definierende Äquivalenzklassenbildung unabhängig von der Wahl der Karte um $p$ ist. Q.E.D.

Definition 8 (Koordinatenbasis)   Sei $\kappa :M_{1} \rightarrow V \subseteq \R^{n}$ eine Karte und $p \in \kappa^{-1}(V)$. Dann definieren wir die Kurven

$$v_{\mu}: (x^{\mu}-\epsilon,x^{\mu}+\epsilon) \rightarrow M, \; v_{\mu}(t)=\kappa^{-1}(x^{1}, \ldots,x^{\mu-1},t,x^{\mu},\ldots,x^{n}) (x^{\nu}) = \kappa(p),$$ (9)

wo $\epsilon$ hinreichend klein gewählt ist, so daß $v_{\mu}$ wohldefiniert ist. Dann bezeichnen wir die Tangentialvektoren

$$\partial_{\mu}=[v_{\mu}]_{p}$$ (10)

als die zu der Karte $\kappa$ gehörige Koordinatenbasis.

Der Leser mache sich zur Übung klar, daß aufgrund der Karteneigenschaften $\{\partial_{\mu} \}_{\mu \in \{1,\ldots,n \}}$ eine Basis des Tangentialraums $T_{p}M$ bilden.