Kotangentialräume

Nun haben wir in $p$ den Tangentialraum $T_pM$ konstruiert und mit dem $\R^n$-Vektorraum identifiziert. Jetzt können wir alle Kenntnisse aus der linearen Algebra auf $T_pM$ anwenden. Für die Physik erweisen sich nun die Linear- und Multilinearformen als besonders nützlich, weil sie es gestatten, invariante, d.h. vom Koordinatensystem unabhängige Größen zu definieren, und allein diese sind es, die objektive Realität in der Raum-Zeit beanspruchen dürfen.

Satz 2 (Dualraum)   Die Menge der Linearformen $T_p^*M$ auf $T_pM$, d.h. der linearen Abbildungen $T: T_pM \rightarrow \R$ bildet mit der punktweisen Addition und Multiplikation mit einer reellen Zahl in natürlicher Weise einen zum $\R^n$ isomorphen Vektorraum, den Dualraum von $T_pM$.

Beweis: Zum Beweis der Vektorraumeigenschaften muß man nur die Definition von punktweiser Addition und Multiplikation mit einer reellen Zahl hinschreiben und die Vektorraumaxiome überprüfen. Diese einfache Arbeit sei dem Leser zur Übung empfohlen.

Daß der Dualraum isomorph zum $\R^n$ ist, folgt nun indem wir zeigen, daß es eine Familie von $n$ linear unabhängigen Bilinearformen in $T_p^*M$ gibt. Dazu bedienen wir uns der oben definierten Koordinatenbasis bzgl. einer beliebigen Karte $\kappa$ um $p$, die wir mit $\{ \partial_{\mu} \}_{\mu=1,\ldots,n}$ bezeichnet haben.

Es ist nun klar, daß es aufgrund der Linearität der Linearform genügt, sie auf einer beliebigen Basis von $T_pM$ zu definieren. Wir wählen dazu die Koordinatenbasis und definieren $\d q^{\mu}$ für $\mu=1,\ldots, n$ als die Linearform, die folgendermaßen auf die Koordinatenbasisvektoren wirkt:

$$\d q^{\mu} \partial_{\nu} = \delta_{\nu}^{\mu} := \begin{cases}0 & \text{falls $\nu \neq \mu$} \\ 1 & \text{falls $\nu = \mu$} \end{cases}.$$ (11)

Sei nun $T$ eine beliebige Linearform auf $T_pM$. Dann definieren wir die Zahlen $T_{\mu}=T \partial_{\mu}$, und aus der Definition der $\d q^{\mu}$ folgt sofort, daß $T=dq^{\mu} T_{\mu}$ ist, d.h. jede Linearform läßt sich durch Linearkombination aus dem $\d q^{\mu}$ aufbauen. Nehmen wir nun an, daß $T_{\mu}$ so gewählt sei, daß $T=T_{\mu} \d q^{\mu}=0$ ist, so folgt unmittelbar $T_{\mu}=T \partial_{\mu}=0$ für alle $\mu=1,\ldots, n$, daß die $\d q^{\mu}$ linear unabhängig sind. Folglich bilden die $\d q^{\mu}$ eine Basis des Dualraums $T_p^*M$ zu $T_pM$, und folglich ist jener genau wie dieser isomorph zum $\R^n$. Q.E.D.

Wir bemerken noch, daß wir in jedem Punkt $p$ der Mannigfaltigkeit den Dualraum zum Tangentialraum auf diese Art konstruieren können und folglich auch sogleich das entsprechende Kotangentialbündel $T^*M$ mitkonstruiert haben.

Es gibt nun aber keine universelle Eigenschaft des Dualraums, der die Identifikation mit dem Tangentialraum ermöglichen könnte, d.h. wir finden keinen basisunabhängigen Isomorphismus zwischen $T_pM$ und $T_p^*M$.

Dem Leser fällt es nun bestimmt nicht schwer zu erraten, was sich der Mathematiker als nächstes ausdenkt. Als hätten wir nämlich noch nicht genug definiert, versuchen wir gleich noch einen neuen Begriff einzuführen indem wir dieselbe Konstruktion, die zur Bildung des zum Tangentialraum dualen Raumes geführt hat, einfach nochmals anwenden und den zum Dualraum dualen Raum, kurzerhand Bidual genannt, definieren.

Für den Physiker erweist sich aber diese Konstruktion zum Glück als nicht notwendig, weil wir das Bidual $T_p^{**}M$ koordinatenunabhängig mit dem Tangentialraum identifizieren können. Wir definieren dazu lediglich zu jedem $v \in T_pM$

$$T_p^{**}M \ni \Phi_v: T_p^* \rightarrow \R: \; \Phi_v T= T v.$$ (12)

Wir zeigen nun, daß die Abbildung $U:T_pM \rightarrow T_p^{**}M$ mit $U(v)=\Phi_v$ ein Isomorphismus ist.

Zunächst folgt aus der Linearität der Linearformen sofort, daß $U$ linear ist, d.h. es gilt für irgendwelche $\alpha, \beta \in \R$ und $v,w \in T_pM$ die Gleichung $\Phi_{\alpha v+\beta w}=\alpha \Phi_v+ \beta \Phi_w$.

Als nächstes zeigen wir, daß die Abbildung injektiv ist: In der Tat folgt aus $\Phi_v=\Phi_w$, daß für jede Linearform $T$ gilt $T v=T w$. Folglich stimmen aber die Komponenten von $v$ und $w$ in einer beliebigen Koordinatenbasis überein: $v^{\mu} = \d q^{\mu} v = dq^{\mu} w =w^{\mu}$, womit dann aber gezeigt ist, daß $v=w$ und folglich $U$ injektiv ist.

Da injektive lineare Abbildungen auf endlichdimensionalen Vektorräumen auch surjektiv sind, ist der Beweis damit schon fertig. Wir wollen aber zur Einübung der Begriffe die Surjektivität auch noch direkt nachweisen. Dazu sei $\Phi \in T_p^{**}M$. Wir definieren nun mit Hilfe der Koordinatenbasis von $T_pM$ den Tangentialvektor $v=\Phi(dq^{\mu}) \partial_{\mu}$. Dann ist aber sofort klar, daß $\Phi=\Phi_v$ ist, denn für alle $T \in T_p^*M$ gilt $\Phi(T)=T_{\mu} \Phi(\d^{\mu})=T_\mu v^{\mu} = T v = \Phi_v(T)$, womit $U$ also surjektiv ist.

Vermöge des Isomorphismus $U$ ist aber $T_p^{**}M$ inkoordinatenunabhäniger Weise mit $T_pM$ identifiziert, und wir werden dies auch hinkünftig stillschweigend tun. Wir können dies dadurch klar machen, daß wir einfach den Isomorphismus $U$ nicht hinschreiben, und $v \in T_pM$ direkt mit dem entsprechenden Element $\Phi_v \in T_p^{**}M$ identifizieren. Dies ergibt die suggestive Schreibweise:

$$T v=v T.$$ (13)