Tensoren

Als nächstes führen wir Multilinearformen, die wir alsTensoren bezeichnen, ein. Nachdem wir den Bidualraum mit dem Tangentialraum selber identifiziert haben, genügt die folgende

Definition 9 (Tensoren)  

Eine in jedem Argument lineare Abbildung

$$T:\underbrace{T_p \times T_p \cdots T_p}_{r \text{ Faktoren }} \t... ...\underbrace{T_p^* \times T_p^* \cdots T_p^*}_{s \text{Faktoren}} \rightarrow \R$$ (14)

heißt Tensor vom Rang $\binom{s}{r}$ in $p \in M$.

Die punktweise definierten Tensoren vom Rang $\binom{s}{r}$ bilden einen Vektorraum, den wir mit $\Pi_{r}^{s}$ bezeichnen.

Sind $S$ und $T$ Tensoren vom Rang $\binom{q}{p}$ bzw. $\binom{s}{r}$, so bezeichnen wir den Tensor $S \otimes T$ vom Rang $\binom{q+s}{p+r}$, der durch

$$\begin{split}(S \otimes T)(v_1,\ldots,v_p,w_1,\ldots w_r,f^1,... ..._p,f^1,\ldots,f^q) T(w_1,\ldots,w_r,g^1,\ldots,g^s) \end{split}$$ (15)

definiert ist als Kroneckerprodukt der Tensoren $S$ und $T$. Dabei sind die $v,w$ beliebige Tangentialvektoren aus $T_p$ sowie die $f,g$ beliebige Linearformen aus $T_p^*$.

Der Leser sei darauf hingewiesen, daß in dieser Definition wieder einige Lemmata versteckt sind, die ihm kurz niederzuschreiben und zu beweisen (was hier wieder fast dasselbe ist) zur Übung empfohlen sei.

Wir bemerken sofort, daß sich für eine beliebige Koordinatenbasis von $T_p$ und deren Dualbasis von $T_p^*$ der Tensor $T \in \Pi_r^s$ vermöge der Tensorkomponenten

$$T_{m_1 \ldots m_r}^{n_1 \ldots n_s}=T(\partial_{m_1},\ldots,\partial_{m_r},\d q^{n_1},\ldots,\d q^{n_s})$$ (16)

durch

$$T=T_{m_1 \ldots m_r}^{n_1 \ldots n_s} \d q^{m_1} \otimes \cdots \otimes \d q^{m_r} \otimes \partial_{n_1} \otimes \cdots \otimes \partial_{n_s}$$ (17)

schreiben läßt. Dabei haben wir uns wieder der Einsteinschen Summationskonvention bedient, wonach über gleiche Indexpaare zu summieren ist, sofern einer von beiden oben und der andere unten steht.

Wir beenden diesen Abschnitt mit der Herleitung der wesentlichen Eigenschaft von Tensoren, nämlich ihrem Verhalten unter Kartenwechsel, also der Transformation von einem Satz lokaler Koordinaten $(q^m)$ zu einem anderen Satz $(q'{}^m)$ ( $m=1,\ldots, d$).

Hier und im folgenden vereinbaren wir die folgende abkürzende Konvention: Arbeiten wir in einer bestimmten lokalen Karte um $p \in M$ setzen wir stillschweigend voraus, daß die Tensorkomponenten des Tensors $T$ Funktionen der dazugehörigen lokalen Koordinaten $q$ bzgl. der dazugehörigen Koordinatenbasis bzw. deren Dualbasis sind. Die entsprechenden Komponenten bzgl. der lokalen Koordinaten $q'$ bezeichnen wir mit dem entsprechenden Symbol mit einem Strich, wobei wir die beiden Karten jeweils auf den Schnitt der beiden Kartengebiete eingeschränkt zu denken haben, damit diese Schreibweise überhaupt wohldefiniert ist.

Aus der Definition der Koordinatenbasen bzgl. $q$ bzw. $q'$ und der dazugehörigen Dualbasis ersehen wir sofort, daß sich diese wie folgt transformieren:

$$\partial_{l}'=\frac{\partial q^{m}}{\partial q'{}^{l}} \partial_m, \; \d q'{}^k= \frac{\partial q'{}^k}{\partial q^l} \d q^l$$ (18)

Das bedeutet in formaler Matrixschreibweise, daß sich die Koordinatenbasen und die Dualbasen kontragredient zueinander mit der Jacobimatrix des durch die Karten induzierten lokalen Diffeomorphismus transformieren.

Im übrigen zeigt dies, daß die in Physikerkreisen übliche laxe Vorstellung von ``Differentialen'' $\d q$ hier einen wohldefinierten Sinn erhält und die naiven Rechenregeln weiterhin angewendet werden dürfen.

Sei nun $T \in \Pi_{r}^s$ ein beliebiger Tensor in $p$. Dieser läßt sich bzgl. der Koordinatenbasen und deren Dualbasen eindeutig als Linearkombination der Form (17) mit den durch (16) definierten Komponenten darstellen. Setzt man nun (18) in (17) ein, findet man sofort den

Satz 3 (Transformationsformel)  

Die Komponenten eines Tensors vom Rang $\binom{s}{r}$ in $p \in M$ bzgl. lokaler Koordinaten $q$, die durch eine Karte $\kappa$ gegeben sind, vermöge der Transformationsformel

$$T'{}_{k_1 \ldots k_r}^{l_1 \ldots l_s}=T_{m_1 \ldots m_r}^{n_1 \l... ...}^{l_1}}{\partial q^{n_1}} \cdots \frac{\partial q'{}^{l_s}}{\partial q^{n_s}}.$$ (19)

in die Komponenten bzgl. lokaler Koordinaten $q'$, die durch eine zur Karte $\kappa$ verträgliche Karte $\kappa'$ definiert sind.

Dabei bezeichnen die $q$ zugleich den durch die Karten induzierten Diffeomorphismus. Der Vollständigkeit halber sei dieser hier noch kurz formal definiert: Seien dazu $U$ bzw. $U'$ die Kartengebiete der Karten $\kappa$ und $\kappa'$. Bezeichne ferner $V$ bzw. $V'$ die entsprechenden Bilder von $U$ und $U'$ in $\R^n$. Dann ist der besagte Diffeomorphismus und seine Umkehrung vermöge

$$q':V \rightarrow V', \; q'=\kappa' \circ \kappa^{-1} q:V' \rightarrow V\; q=\kappa \circ \kappa'{}^{-1}$$ (20)

eindeutig bestimmt.

Um das unterschiedliche Transformationsverhalten der Tensorkomponenten zu bezeichnen, die einfach aus der Tatsache resultieren, daß obere Indizes die den Tangentialvektorkomponenten und die unteren die den Linearformenkomponenten entsprechende Bedeutung besitzen, zu kennzeichnen, nennt man die unteren Indizes ko- und die oberen kontravariante Tensorindizes.