Die Newton'sche Mechanik

Als Folgerung aus den Erkenntnissen Galileis wurde fortan an jede neue Theorie die Forderung der Galilei-Invarianz gestellt: Die Theorie muss für jeden Beobachter mit konstanter Geschwindigkeit gleichermaßen gültig sein. Diese Forderung wurde von Isaac Newton (1643-1727) in seinem 1687 veröffentlichten Hauptwerk Philosophiae Naturalis Principia Mathematica aufgegriffen. Er ging davon aus, dass die Bewegung von Körpern durch auf sie wirkende Kräfte bestimmt wird. Er stellte drei Axiome auf, denen seiner Meinung nach alle Körper gehorchen:

1. Ist die Summe aller auf einen Körper wirkenden Kräfte gleich Null, so verharrt er in Ruhe oder bewegt sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit weiter.
2. Die resultierende Beschleunigung $\ddot x$ eines Körpers der Masse $m$ ist direkt proportional zur Summe aller auf ihn wirkenden Kräfte $G$; es gilt die Gleichung
   

   $$F = m\ddot x.$$ (1)

   
   

3. Zu jeder Kraft existiert eine betragsgleiche, entgegengerichtete Gegenkraft.

Das erste Axiom ist der Galilei'sche Trägheitssatz, das zweite ist die allgemeine Bewegungsgleichung. Das dritte Axiom ist zum Impulserhaltungssatz äquivalent.

Untersuchen wir nun die Forderung der Galilei-Invarianz in Bezug auf die Theorie Newtons. Betrachten wir also einen mit der konstanten Geschwindigkeit $v$ relativ zu einem ,,Ruhesystem`` $S$ bewegten Körper. Für Ortskoordinaten $x'$ im Ruhesystem des Körpers gilt dann in Bezug auf Koordinaten $x$ im System $S$:

$$x' = x - vt.$$ (2)

Lösen wir nun (2.2) nach $x$ auf und setzen in (2.1) ein, so erhalten wir:

$$F = m\ddot x = m\frac{d^2}{dt^2}(x' + vt) = m\frac{d}{dt}(\dot{x'} + v) = m\ddot{x'}$$ (3)

Die Newton'sche Bewegungsgleichung (2.1) ist somit auch im bewegten Bezugssystem $S$ gültig. Die Newton'sche Mechanik ist also Galilei-invariant.

Zu beachten ist in der Newton'schen Theorie die Existenz einer absoluten Zeit: Jedes Bezugssystem misst die gleiche Zeit; wir haben dies bereits bei unserer rechnerischen Überprüfung der Galilei-Invarianz benützt, da wir für beide Bezugssystemen nur eine Zeitkoordinate verwendet haben.