Differentialgeometrie

In der vorrelativistischen Physik wurden Raum und Zeit als vollkommen getrennte Aspekte der physikalischen Welt aufgefasst: Der Raum wurde als dreidimensionaler euklidischer Raum beschrieben; die Zeit war eine vom Raum (und damit auch vom Beobachter) vollkommen unabhängige Koordinate.

Diese Ansicht ist, wie Einsteins Theorien zeigen, nicht besonders gut für die Beschreibung von Raum und Zeit geeignet. Heutzutage vereint man die Zeit mit den drei Raumdimensionen zur vierdimensionalen Raumzeit. Die Zeit ist dann nur noch eine von vier Koordinaten, die zwar immer noch durch ein negatives Vorzeichen der entsprechenden Komponenten des metrischen Tensors von den Raumkoordinaten unterscheidbar ist, jedoch nicht mehr unabhängig von diesen ist. Sie ist somit, genauso wie die Raumkoordinaten, abhängig von der Wahl des Koordinatensystems. Zusammen mit der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit führen diese Überlegungen zur Speziellen Relativitätstheorie, wie sie schon in Abschnitt 2.3.2 kurz erläutert wurde.

Die Behandlung der Gravitation führt jedoch auf die im Abschnitt 2.3.3 angesprochenen Probleme. Man muss deshalb für die Gravitation das Konzept der Raumzeit weiter verallgemeinern, indem man auch gekrümmte Räume zulässt.

Die Beschreibung dieser gekrümmten Räume erfordert eine neue Art von Mathematik, die so genannte Differentialgeometrie, deren Entwicklung vor allem durch den berühmten Mathematiker Bernhard Riemann (1826-1866) initiiert wurde.

Riemann ging in seinen Überlegungen von gekrümmten Flächen als Teilmengen des $\mathbb{R}^3$ aus, wie z. B. Kugelflächen. Er entwickelte eine Methode zur Beschreibung der geometrischen Eigenschaften dieser Flächen ohne Bezugnahme auf den Einbettungsraum. Dies ist vor allem auch für die Beschreibung der physikalischen Realität wichtig, da wir unser Universum von innen heraus, also möglichst nur mit Hilfe von direkt beobachtbaren Größen beschreiben wollen. Ein euklidischer Raum, in dem unser Universum eingebettet ist⁴, ist grundsätzlich nicht beobachtbar.

Bei der Begriffsbildung zur Beschreibung von gekrümmten Räumen geht man in mehreren Schritten vor:

1. Der einfachste Begriff ist der so genannte topologische Raum. Dieser Begriff verbindet eine Menge von Punkten mit einer Struktur, die die anschauliche Vorstellung von Nähe formalisiert.
2. Der nächste Schritt ist der Begriff der Mannigfaltigkeit. Hier wird einem topologischen Raum zusätzlich eine Struktur aufgesetzt, mit deren Hilfe man die Differenzierbarkeit einführen kann.
3. Auf der nun vorliegenden Mannigfaltigkeit werden so genannte Tensorfelder eingeführt, mit deren Hilfe man physikalische Größen darstellen kann.
4. Als besonderer Tensor wird der metrische Tensor eingeführt. Er beschreibt, wie man (lokal) Abstände berechnet.
5. Aus dem metrischen Tensor lässt sich ein Ableitungsoperator, die so genannte  kovariante Ableitung erzeugen. Mit ihrer Hilfe lassen sich nun fast alle physikalischen Zusammenhänge auf allgemeine gekrümmte Räume übertragen.

Die topologischen Grundlagen (Schritt 1) werden in Anhang A behandelt. Wir beginnen hier mit der Einführung des Begriffes der Mannigfaltigkeit. Dies ist der zentrale Begriff der modernen Differentialgeometrie. Er erlaubt uns eine Beschreibung gekrümmter Räume ohne Bezugnahme auf einen Einbettungsraum.