Mannigfaltigkeiten

Schon im ganz alltäglichen Leben begegnen uns geometrische Objekte, die nicht mehr auf einfache Weise durch einen $\mathbb{R}^2$ oder einen $\mathbb{R}^3$ beschrieben werden können. So ist zum Beispiel die Oberfläche unserer Erde annäherungsweise eine Kugeloberfläche. Diese kann, obwohl sie an sich ein zweidimensionales Gebilde ist, nicht mehr in befriedigender Weise in der (euklidischen) Ebene dargestellt werden. So können z. B. Weltkarten die Kugelstruktur nur sehr schlecht darstellen: Die Erde muss an einer geeigneten Stelle, meist in Nord-Süd-Richtung, ,,aufgeschnitten`` werden. Dies führt dazu, dass das Bild einer vollständigen Umrundung der Welt auf dieser Karte einen Sprung macht, nämlich dann, wenn es die Stelle des ,,Aufschneidens`` erreicht. Weiterhin ergibt sich durch die Krümmung der Kugeloberfläche ein anderes Problem: Längen und Winkel sind in der Abbildung mehr oder weniger verzerrt; es gibt keine Karte, auf der alle Längen vollständig korrekt dargestellt werden.

Die beiden Probleme lassen sich nur dann lösen, wenn man darauf verzichtet, für die Darstellung der gesamten Kugel mit einer einzigen Karte auszukommen. Je kleiner die verwendeten Karten, desto besser stimmen die Längen und Winkel mit den wahren Größen auf der Kugel überein. Aus dem ,,Zusammenkleben`` vieler kleiner Karten erhält man wiederum eine Struktur, die die Kugel ohne ,,Aufschneiden`` beschreibt.

Das Konzept der Karten wird nun von der Differentialgeometrie übernommen: Man definiert allgemein eine Karte auf einem Gebiets eines topologischen Raums wie folgt [22, S. 8]:

Definition 3.1 ($m$-dimensionale Karte)   Eine $m$-dimensionale Karte auf einem topologischen Raum $M$ ist ein Paar $(V,\Phi)$, bestehend aus einer offenen Teilmenge $V$ von $M$ und einem Homöomorphismus $\Phi$ von $V$ auf eine offene Teilmenge des $\mathbb{R}^m$.

Die Verwendung des Begriffes Homöomorphismus stellt die Stetigkeit sicher: Die oben angesprochene Situation, dass Kurven, die im betrachteten Raum (z. B. der Kugeloberfläche) stetig sind, auf der Karte Sprünge machen, wird in der Mathematik von vornherein durch die Definition der Karten ausgeschlossen.

Wie man am Beispiel der Kugel erkennen kann, sind deshalb meist mehrere Karten nötig, um einen Raum vollständig mit Karten zu bedecken. Man muss nun beschreiben, wann zwei solche Karten ,,zusammenpassen``. Man betrachtet hierzu den Überlappungsbereich der beiden Karten. Wenn in diesem Bereich auf der einen Karte ein differenzierbarer Weg gezeichnet wird, so muss auch sein Bild in der anderen Karte differenzierbar sein [22, S. 8]:

Definition 3.2 (Verträglichkeit)   Zwei $m$-dimensionale Karten $(V_1,\Phi_1)$ und $(V_2,\Phi_2)$ heißen verträglich, wenn $V_1\cap V_2=\emptyset$ oder wenn die sinngemäß eingeschränkten Abbildungen $\Phi_2\circ\Phi_1^{-1}$ und $\Phi_1\circ\Phi_2^{-1}$ beliebig oft differenzierbare Abbildungen von offenen Mengen des $\mathbb{R}^m$ sind.

Diese Definition wird in Abbildung 3.1 veranschaulicht.

Abbildung: Damit die Karten $(V_1,\Phi_1)$ und $(V_2,\Phi_2)$ verträglich sind, müssen sowohl $\Phi_2\circ\Phi_1^{-1}$ als auch $\Phi_1\circ\Phi_2^{-1}$ beliebig oft differenzierbare Abbildungen von offenen Mengen des $\mathbb{R}^m$ sein.

$$\includegraphics{figures/karten.mps}$$

Da man den gesamten Raum mit Karten überdecken will, definiert man nun weiterhin [22, S. 8]:

Definition 3.3 ($m$-dimensionaler Atlas)   Ein $m$-dimensionaler Atlas auf $M$ ist eine Menge von verträglichen $m$-dimensionalen Karten, die ganz $M$ überdecken.

Zu jedem Atlas $A$ lässt sich nun ein maximaler Atlas konstruieren: Dieser besteht aus allen Karten, die zu Karten aus $A$ verträglich sind:

Definition 3.4 (Maximaler Atlas)   Ein Atlas heißt maximal, wenn er zu jeder Karte $K$ auch alle zu $K$ verträglichen Karten enthält.

Mit dieser Definition sind wir nun gerüstet für die Definition der differenzierbaren Mannigfaltigkeit: Wir gehen von einem topologischen Raum aus (siehe Anhang A) und definieren zusätzlich durch einen Atlas eine differenzierbare Struktur auf diesem Raum. Damit aus äquivalenten differenzierbaren Strukturen auch gleiche Atlanten folgen, fordern wir für die Mannigfaltigkeit einen maximalen Atlas [22, S. 9]:

Definition 3.5 ($m$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit)   Eine $m$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit ist durch einen Hausdorffraum $M$, der das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, und einen maximalen $m$-dimensionalen Atlas auf $M$ gegeben.

Beispiele für Mannigfaltigkeiten sind

• der euklidische Raum $\mathbb{R}^m$,
• die $m$-dimensionale Kugel und der $m$-dimensionale Torus [22, S. 9],
• die physikalische Raumzeit,

jeweils mit geeigneten Atlanten.

Der Sinn der Definition von Mannigfaltigkeiten war es, den Differenzierbarkeitsbegriff sinnvoll auf gekrümmte Räume zu übertragen. Dies können wir nun tun. Hierbei gehen wir natürlich über Karten vor:

Definition 3.6 (Differenzierbarkeit in einem Punkt)   Seien $M$ und $N$ Mannigfaltigkeiten und $f$ eine Abbildung von $M$ auf $N$. Sei ferner $p \in M$ und $q = f(p) \in N$. Dann existieren Karten $(V,\Phi)$ auf $M$ mit $p \in V$ und $(W, \Psi)$ auf $N$ mit $q \in W$. Die Abbildung $f$ heißt nun differenzierbar in $p$, wenn $\Psi\circ f\circ\Phi^{-1}$ eine in $\Phi(p)$ differenzierbare Abbildung ist.

Eine Abbildung ist also differenzierbar, wenn die Abbildung zwischen den entsprechenden Karten als Abbildung des $\mathbb{R}^m$ auf den $\mathbb{R}^n$ differenzierbar ist. In der üblichen Weise definiert man nun:

Definition 3.7 (Differenzierbare Abbildung)   Eine Abbildung $f:M\to N$ heißt differenzierbar, wenn sie in jedem Punkt von $M$ differenzierbar ist.

Es vereinfacht unsere Betrachtungen beträchtlich, wenn die vorkommenden Abbildungen möglichst oft differenzierbar sind. Abbildungen, die beliebig oft differenzierbar sind, werden auch als $C^\infty$ bezeichnet.