Vektor- und Tensorfelder

Damit eine Mannigfaltigkeit den physikalischen Raum repräsentieren kann, braucht man mathematische Konzepte zur Darstellung physikalischer Objekte und Größen in der Mannigfaltigkeit.

Da die Mannigfaltigkeit zwar mit Hilfe von Karten definiert wird, jedoch keine bestimmte Karte als ,,bevorzugt`` ausgezeichnet ist, sollten diejenigen Größen, denen später physikalische Bedeutung zukommen soll, eine von der Wahl der Karte, also des Koordinatensystems, unabhängige geometrische Bedeutung haben. Denn auch der physikalische Raum legt nicht von vornherein ein Koordinatensystem fest.

Die einfachste mathematisch definierbare physikalische Größe ist ein so genanntes Skalarfeld, manchmal auch einfach als Funktion bezeichnet. Ein Skalarfeld ordnet jedem Punkt einer Mannigfaltigkeit eine reelle Zahl (einen Skalar) zu:

Definition 3.8 (Skalarfeld)   Ein Skalarfeld auf einer Mannigfaltigkeit $M$ ist eine Abbildung von $M$ auf $\mathbb{R}$. Die Menge aller $C^\infty$-Skalarfelder (einer bestimmten Mannigfaltigkeit) wird auch mit $\mathcal{F}$ bezeichnet.

Diese Definition ist ohne die Verwendung von Karten definiert und ist sogar ohne das Vorhandensein von Karten sinnvoll. Eine Abbildung auf die reellen Zahlen kann man auf jeder Menge definieren. Für uns bedeutet dies, dass der Wert eines Skalarfeldes an einem bestimmten Punkt unabhängig von der Wahl des Koordinatensystems ist.

Die Physik verwendet das Konzept des Skalarfeldes in vielfältiger Weise, hier drei Beispiele:

• Das Newton'sche Gravitationspotential wird durch ein Skalarfeld beschrieben, das Gleichung (2.5) erfüllt. Die Gravitationskraft zeigt dann in die dem Gradienten dieses Feldes entgegengesetzte Richtung.
• Die Temperaturverteilung im Raum kann durch ein Skalarfeld dargestellt werden; ordnet man verschiedenen Temperaturen unterschiedliche Farben bzw. verschiedene Farbintensitäten zu, erhält man eine Art der Visualisierung von Skalarfeldern, wie sie z. B. von Wärmebildkameras geliefert wird.
• In der Schule wird auch das elektrische Potential als Skalarfeld angesehen. Da jedoch elektrisches und magnetisches Feld sich bei Änderung des Bezugssystems gegenseitig beeinflussen (man nennt dies dann z. B. Induktion), sollte man elektrisches und magnetisches Potential besser zu einer Größe, dem so genannten Vektorpotential zusammenfassen. Dessen Komponenten sind dann natürlich auch von der Wahl der Basis (also des Koordinatensystems) abhängig, der Vektor als ganzes bleibt in seiner geometrischen Bedeutung jedoch bei gleichem Potential unverändert.

Für nachfolgende Rechnungen ist es praktisch, folgende trivialen Rechenregeln einzuführen: Seien $c\in\mathbb{R}$ und $f,g\in\mathcal{F}$; man definiert dann:

$$(cf)(p) = cf(p)$$ (6)

$$(f+g)(p) = f(p)+g(p)$$ (7)

$$(fg)(p) = f(p)g(p)$$ (8)

Nicht alle physikalischen Felder können (sinnvoll) mit Hilfe von Skalarfeldern beschrieben werden (dies haben wir oben bereits beim elektrischen Feld gesehen). Bei Kraftfeldern z. B. muss auch eine Richtung im Feld dargestellt werden. Mathematisch spricht man dann von einem Vektorfeld.

Die Definition von Vektorfeldern auf gekrümmten Räumen ist nicht ganz einfach; während man bei euklidischen Räumen den gesamten Raum als Vektorraum auffassen kann und auf einfache Weise Vektoren als ,,Differenz zweier Punkte`` deuten kann, ist die Situation in gekrümmten Räumen wesentlich komplexer. Es ist zunächst einmal gar nicht klar, wie man den Begriff des Vektors überhaupt definieren soll.

Die Differentialgeometrie hat gleich mehrere Methoden entwickelt, dieses Problem zu lösen. Allen gemeinsam ist, dass man Vektoren nicht mehr global definieren kann, sondern in jedem Punkt der Mannigfaltigkeit einen eigenen Vektorraum erhält. Aufgrund ihrer Einfachheit wählen wir hier die algebraische Methode. Diese betrachtet die Vektoren als Ableitungsoperatoren auf Skalarfeldern. Eine Eigenschaft, die praktisch alle solchen Operatoren haben, ist die Linearität. Weil dies eine so wichtige Eigenschaft ist, die uns auch später noch öfter begegnen wird, führen wir den Begriff in einer eigenen Definition ein:

Definition 3.9 (Lineare Abbildung)   Seien $V$ und $W$ zwei Vektorräume. Die Abbildung $f:V\to W$ heißt linear, falls $f(aX+bY)=af(X)+bf(Y)$ für alle $X,Y\in V$ und $a,b\in\mathbb{R}$.

Nun können wir den Begriff des Vektors einführen [23, S. 15]:

Definition 3.10 (Vektor)   Ein Vektor $X$ an einem Punkt $p$ einer Mannigfaltigkeit ist eine lineare Abbildung von $\mathcal{F}$ auf $\mathbb{R}$, die die Leibniz'sche Produktregel erfüllt:

$$X(fg)=X(f)g(p)+f(p)X(f)$$

für beliebige $f,g\in\mathcal{F}$.

Wie ist in dieser Definition nun das Konzept der Richtung verwirklicht? Die Vektoren sind praktisch Richtungsableitungen. Sie geben die Änderungsrate des Skalarfeldes in die Richtung an, in die sie zeigen.

Die Richtung, in die ein Vektor zeigt, kann z. B. durch eine Kurve bestimmt werden, indem wir die Ableitung in Richtung der Kurve bilden: Sei $k:\mathbb{R}\to M$ eine $C^\infty$-Kurve in der Mannigfaltigkeit $M$. Die Abbildung, die bei gegebenem Kurvenpunkt $p$ mit $p=k(t_p)$ jedem Skalarfeld $f\in F$ die Zahl

$$\left.\frac{df(k(t))}{dt}\right\vert _{t=t_p}$$ (9)

zuordnet, heißt Tangentialvektor der Kurve $k$ im Punkt $p$. Da es sich hierbei praktisch um eine gewöhnliche Ableitung handelt, sind natürlich auch die Forderungen aus Definition 3.10 erfüllt.

Der Prozess ist also folgendermaßen: Durch eine Kurve wird eine Richtung definiert, die Ableitung eines Skalarfeldes in diese Richtung wird durch einen zugehörigen Vektor definiert. Damit wurde zweierlei erreicht:

1. Der Begriff des Vektors wurde vollkommen koordinatenunabhängig definiert. Die Karten auf der verwendeten Mannigfaltigkeit sind zwar für die Forderung nach Differenzierbarkeit der Skalarfelder, auf denen die Vektoren operieren, wichtig, jedoch hat unsere Vektor-Definition eine Bedeutung, die unabhängig vom gewählten Koordinatensystem ist.
2. Der Begriff des Vektors enthält unsere anschauliche Vorstellung einer Richtung. Diese kann z. B. durch eine Kurve definiert werden.

Um die gewohnten Eigenschaften von Vektoren zu erhalten, führen wir nun zwischen zwei Vektoren in $p$ ähnlich wie bei den Skalarfeldern eine Addition und eine Skalarmultiplikation ein. Dies hilft uns, die Vektoren in einen Vektorraum einzubetten. Wir definieren also

$$(X+Y)(f) = X(f)+Y(f),$$ (10)

$$(cX)(f) = cX(f),$$ (11)

für beliebige Vektoren $X$ und $Y$ an einem Punkt $p$ der Mannigfaltigkeit, $c\in\mathbb{R}$ und $f\in\mathcal{F}$. Man überprüft leicht, dass die Ergebnisse der Addition und der Skalarmultiplikation wieder Vektoren in $p$ sind. Die Vektoren an einem Punkt $p$ einer Mannigfaltigkeit $M$ spannen also einen Vektorraum auf, den so genannten Tangentialraum $T_p(M)$. Die Dimension dieses Vektorraums entspricht natürlich der Dimension der Mannigfaltigkeit.

Wir haben jetzt an jedem Punkt einer Mannigfaltigkeit einen Vektorraum definiert. Diese Vektorräume haben zunächst keinen Zusammenhang untereinander. Elemente des Tangentialraumes an einem Punkt können also nicht ohne weiteres mit Elementen des Tangentialraumes an einem anderen Punkt verglichen oder verknüpft werden. Dieses Problem werden wir später durch die Einführung einer zusätzlichen Struktur auf der Mannigfaltigkeit für unsere Zwecke beheben.

Zunächst begnügen wir uns aber ohne diese Struktur und definieren trotzdem den Begriff des Vektorfeldes:

Definition 3.11 (Vektorfeld)   Ein Vektorfeld $v$ ist eine Abbildung, die jedem Punkt $p$ einer Mannigfaltigkeit $M$ einen Vektor $v\vert _p$ aus dem jeweiligen Tangentialraum $T_p(M)$ zuordnet.

Wir definieren zusätzlich die abkürzende Schreibweise $v(f):p\mapsto v\vert _p(f)$ für beliebige Vektorfelder $v$ und Skalarfelder $f$. Damit können wir nun auch die Differenzierbarkeit auf Vektorfelder übertragen, obwohl die einzelnen Tangentialräume noch keinen Zusammenhang haben [23, S. 17]:

Definition 3.12 ($C^\infty$-Vektorfeld)   Ein Vektorfeld $v$ heißt $C^\infty$, wenn für alle $C^\infty$-Skalarfelder $f$ auch $v(f)$ ein $C^\infty$-Skalarfeld ist.

Wie man leicht beweist [23, S. 15-16], bilden die partiellen Ableitungen nach lokalen Koordinaten eine Basis des $T_p(M)$. Damit kann man eine Komponentenschreibweise für Vektoren einführen. Seien $x^1,\ldots,x^n$ lokale Koordinaten, also die Werte, auf die eine Karte die Punkte der Mannigfaltigkeit abbildet. Dann kann man einen Vektor $X$ an einem Punkt $p$ als

$$X = \sum_\alpha X^\alpha\left(\frac{\partial}{\partial x^\alpha}\right)_p$$ (12)

schreiben. Man beachte, dass der Index $\alpha$ bei den Vektorkomponenten und den Koordinaten hochgestellt geschrieben wird. Der Grund dafür liegt in der so genannten Einstein'schen Summationskonvention begründet, die später noch genauer erläutert wird. Hochgestellte Indizes dürfen auf keinen Fall mit Exponenten verwechselt werden!

Bestimmen wir als Beispiel die Komponenten des Tangentialvektors einer $C^\infty$-Kurve in lokalen Koordinaten $x^1,\ldots,x^n$, indem wir die Ableitung (3.4) ausführen. Dabei bezeichnet $k^\alpha(t)$ die $x^\alpha$-Komponente des Kurvenpunkts $k(t)$.

$$\left.\frac{df(k(t))}{dt}\right\vert _{t=t_p} =\sum_\alpha\l... ...^\alpha(t_p)}\left.\frac{dk^\alpha(t)}{dt}\right\vert _{t=t_p}$$

Führen wir einen Koeffizientenvergleich dieses Ergebnisses mit Gleichung (3.7) durch, so erhalten wir für die Komponenten des Tangentialvektors $T$ an den Punkt $p=k(t_p)$ einer Kurve $k$

$$T^\alpha = \left.\frac{dk^\alpha(t)}{dt}\right\vert _{t=t_p}.$$ (13)

Früher wurden Vektoren über ihr Transformationsverhalten beim Übergang in andere Koordinaten definiert. Dieses können wir leicht mit Hilfe der Kettenregel für partielle Ableitungen herleiten. Seien $X^\alpha$ die Komponenten des Vektors $X$ in der zu den Koordinaten $x^1,\ldots,x^n$ gehörenden Basis; $x'^1,\ldots,x'^n$ seien andere lokale Koordinaten, $X^{\alpha'}$ die zugehörigen Komponenten von $X$. Es gilt dann:

$$X = \sum_\alpha X^\alpha\frac{\partial}{\partial x^\alpha} =... ...'^\beta}{\partial x^\alpha} \frac{\partial}{\partial x'^\beta}$$ (14)

Für die Komponenten $X^{\alpha'}$ gilt also:

$$X^{\alpha'} = \sum_\beta X^\beta\frac{\partial x'^\alpha}{\partial x^\beta}$$ (15)

Das Konzept des Vektors haben wir nun in hinreichendem Umfang besprochen. Die restlichen differentialgeometrischen Definitionen fußen alle auf diesem grundlegenden Konzept.

In der linearen Algebra gibt es das Konzept der dualen Vektorräume. Ein zu einem Vektorraum $V$ dualer Vektorraum besteht aus allen linearen Abbildungen von $V$ auf $\mathbb{R}$.

Wir wenden dieses Konzept nun auf unsere Tangentialräume an jedem Punkt unserer Mannigfaltigkeit an und erhalten so die entsprechenden Kotangentialräume. Die Elemente dieser Kotangentialräume heißen Dualvektoren bzw. 1-Formen [23, S. 19].

Auch für die 1-Formen kann man leicht eine Basis finden: Zu jeder Tangentialraum-Basis $\left(\frac{\partial}{\partial x^1}\right)_p,\ldots, \left(\frac{\partial}{\partial x^n}\right)_p$ kann man die so genannte duale Basis $(dx^1)_p,\ldots,(dx^n)_p$ des entsprechenden Kotangentialraums konstruieren. Dabei ist $dx^\alpha$ definitionsgemäß diejenige 1-Form, die jedem Vektor $T$ seine $x^\alpha$-Komponente $T^\alpha$ zuordnet. Damit muss für die Basisvektoren und die dualen Basis-1-Formen also die Gleichung

$$dx^\alpha\left(\frac{\partial}{\partial x^\beta}\right) = \delta^\alpha{}_\beta$$ (16)

erfüllt sein, wobei $\delta^\alpha{}_\beta$ das Kronecker-Symbol ist, das für $\alpha=\beta$ gleich 1 ist, ansonsten gleich 0. Analog zu den Vektoren lässt sich damit natürlich auch eine Komponentenschreibweise für die 1-Formen einführen. Die Indizes der Komponenten von 1-Formen werden tiefgestellt geschrieben.

Das Transformationsverhalten der Komponenten von 1-Formen in dualen Basen kann man leicht mit Hilfe der Dualität ausrechnen. Das Ergebnis ist [23, S. 22]:

$$\omega_{\alpha'} = \sum_\beta\omega_\beta\frac{\partial x^\beta} {\partial x'^\alpha}$$ (17)

Der Wert der Anwendung einer 1-Form $\omega$ auf einen Vektor $X$ lässt sich unter Anwendung der jeweiligen Linearitätseigenschaften wie folgt berechnen:

$$\begin{eqnarray*} \omega(X) &=& \sum_\alpha\omega_\alpha dx^\alpha(X)\\ &=& \su... ...ta\delta^\alpha{}_\beta\\ &=& \sum_\alpha\omega_\alpha X^\alpha \end{eqnarray*}$$

Da der Wert $\omega(X)$ unabhängig von der Wahl des Koordinatensystems ist, weil bei der Definition von 1-Formen nicht auf spezielle Karten zurückgegriffen wurde, muss auch das Endergebnis $\sum_\alpha\omega_\alpha X^\alpha$ unabhängig vom verwendeten Koordinatensystem sein.

Diese Beobachtung kann man nun zur Entwicklung eines Kalküls benutzen, der sowohl geometrische Bedeutungen (Tatsachen, die in allen Koordinatensystemen gültig sind) widerspiegelt, als auch Rechenanweisungen gibt, die für Komponenten in einer bestimmten Basis verwendet werden können. Man führt dazu folgende Konventionen ein, die auch die hoch- und tiefgestellten Indizes begründen [23, S. 23-25]:

• Die Komponenten von Vektoren erhalten hochgestellte, die Komponenten von 1-Formen tiefgestellt Indizes. Hochgestellte Indizes werden auch als kontravariante, tiefgestellte als kovariante Indizes bezeichnet.
• Ist eine Gleichung nur in bestimmten Basen korrekt, so werden für die Komponenten griechische Indizes verwendet. Alle eventuell vorzunehmenden Summationen werden explizit ausgeschrieben.
• In Gleichungen, die in allen Basen gültig sind, werden lateinische Indizes verwendet. Es gibt dann folgende Fälle:
  1. Ein Index tritt auf jeder Seite einer Gleichung genau einmal auf. Derselbe Index muss dann auf beiden Seiten in der gleichen Position (also hoch- bzw. tiefgestellt) auftreten. Ausnahme ist der Nulltensor; er erhält keine Indizes. Durch diesen Fall wird die Identität zweier Vektoren bzw. 1-Formen ausgedrückt. Diese ist natürlich trivialerweise immer in allen Koordinatensystemen für die Komponenten erfüllt.
  2. Ein Index tritt auf einer Seite genau einmal hoch- und einmal tiefgestellt auf. Es wird dann implizit, also ohne dass ein Summenzeichen geschrieben wird, über alle Werte dieses Index summiert. Durch diese Regel wird die Anwendung einer 1-Form auf einen Vektor ausgedrückt. Der verwendete Koordinatenausdruck hat nach unserer obigen Rechnung einen koordinatenunabhängigen Wert.
  Andere Fälle sind nicht möglich! Das Ergebnis der obigen Rechnung können wir also folgendermaßen festhalten:
  

  $$\omega(X) = \omega_iX^i$$ (18)

  
  
  Die Indexschreibweise mit lateinischen Buchstaben ist nur eine abkürzende Schreibweise für Tatsachen, die man auch ohne Bezugnahme auf Komponenten ausdrücken kann. Sie ist sehr praktisch, weil sie allgemein gültige Tatsachen sehr kompakt darstellt und gleichzeitig Ausdrücke liefert, mit denen man bei der Wahl von geeigneten Basen direkt rechnen kann.

Die Vektoren und 1-Formen werden wir nun verwenden, um den Begriff des Tensors einzuführen. Dieser ist anschaulich nur noch sehr schwer zu verstehen, mathematisch aber ziemlich leicht zu fassen [23, S. 20]:

Definition 3.13 (Tensor)   Ein $(k,l)$-Tensor ist eine in allen Argumenten lineare Abbildung von $k$ 1-Formen und $l$ Vektoren in die reellen Zahlen.

Definiert man für einen Vektor $X$ und eine 1-Form $\omega$

$$X(\omega):=\omega(X),$$ (19)

so kann man einen Vektor als $(1,0)$-Tensor auffassen. Eine 1-Form ist natürlich von vornherein ein $(0,1)$-Tensor, weiterhin kann man ein Skalarfeld als $(0,0)$-Tensor auffassen.

Ein Beispiel eines $(0,2)$-Tensors ist das Skalarprodukt: Es bildet zwei Vektoren auf eine reelle Zahl ab, wobei die geforderten Linearitätseigenschaften natürlich erfüllt sind (siehe auch Abschnitt 3.3).

Analog zu den Vektoren und 1-Formen kann man nun eine Addition und Skalarmultiplikation für Tensoren einführen. Weiterhin kann man den Begriff des Tensorfelds analog zum Vektorfeld (Definition 3.11) einführen.

Zusätzlich werden wir für Tensoren noch zwei weitere Operationen einführen. Die erste ist das Tensorprodukt: Gegeben seien ein $(i,j)$-Tensor $A$ und ein $(k,l)$-Tensor $B$. Das Tensorprodukt $AB$ ist ein $(i+k,j+l)$-Tensor, der nach folgender Formel definiert wird:

$${(AB)(\omega_1,\ldots,\omega_{i+k},X_1,\ldots,X_{j+l})}$$

$$=A(\omega_1,\ldots,\omega_{i},X_1,\ldots,X_{j})\cdot B(\omega_{i+1},\ldots,\omega_{i+k},X_{j+1},\ldots,X_{j+l}),$$ (20)

wobei die Indizes verschiedene Vektoren $X$ und 1-Formen $\omega$ bezeichnen, nicht etwa die Komponenten eines Vektors bzw. einer 1-Form bezüglich einer bestimmten Basis.

Wir können das Tensorprodukt nun nutzen, um eine Basis für Tensoren aus den Basisvektoren und den dualen Basis-1-Formen zu konstruieren. Hierzu stellen wir zunächst fest, dass das Tensorprodukt von $k$ Vektoren und $l$ 1-Formen ein $(k,l)$-Tensor ist. Weitere Überlegungen zeigen, dass die $n^{k+l}$ Tensoren

$$\frac{\partial}{\partial x^{\mu_1}}\cdots \frac{\partial}{\partial x^{\mu_k}}dx^{\nu_1}\cdots dx^{\nu_l}$$

eine Basis der $(k,l)$-Tensoren bilden [3, S.  8-9].

Somit kann man auch bei Tensoren eine Komponentenschreibweise einführen:

$$T=\sum_{\mu_1,\cdots,\mu_k\atop\nu_1,\cdots,\nu_l}T^{\mu_1\c... ...\frac{\partial}{\partial x^{\mu_k}}dx^{\nu_1}\cdots dx^{\nu_l}$$ (21)

Die Regeln für die Indizes, die wir oben aufgestellt haben, bleiben dabei unverändert. Die Erweiterung der oben betrachteten Anwendung einer 1-Form auf einen Vektor bildet dabei die zweite Operation, die wir für Tensoren noch einführen wollen, die so genannte Kontraktion. Unter einer Kontraktion eines $(k,l)$-Tensors $T$ bezüglich eines ko- und eines kontravarianten Index verstehen wir einen $(k-1,l-1)$-Tensor

$$T^{a_1\cdots c\cdots a_k}{}_{b_1\cdots c\cdots b_l},$$

der aus dem Tensor $T$ wie bereits durch die Notation ausgedrückt durch Summation über den Index $c$ entsteht. Die Kontraktion kann für beliebige Positionen des Index $c$ unter den Indizes $a_1,\ldots,a_k$ und $b_1,\ldots,b_l$ ausgeführt werden, und der sich ergebende $(k-1,l-1)$-Tensor hängt nicht von der Wahl des Koordinatensystems bei der Ausführung der Kontraktion ab; dies ist zu verstehen, wenn man berücksichtigt, dass die Kontraktion eine Erweiterung der Anwendung einer 1-Form auf einen Vektor ist. Auch eine solche Anwendung kann man als Kontraktion auffassen, indem man die 1-Form und den Vektor zunächst mit dem Tensorprodukt zu einem $(1,1)$-Tensor kombiniert und diesen dann über die beiden Indizes kontrahiert.

Die Koordinateninvarianz der Kontraktion ist es, die die Verallgemeinerung unserer Indexschreibweise von Vektoren und 1-Formen auf allgemeine Tensoren erst möglich macht.

Als letztes Element unserer allgemeinen Einführung in die Tensorrechnung führen wir noch zwei Begriffe ein: Ein $(2,0)$- bzw. $(0,2)$-Tensor $T$ heißt symmetrisch, wenn

$$T(A,B)=T(B,A),$$ (22)

bzw. antisymmetrisch, wenn

$$T(A,B)=-T(B,A),$$ (23)

jeweils für beliebige 1-Formen bzw. Vektoren $A$ und $B$.