Metrik und kovariante Ableitung

In der analytischen Geometrie führt man für Vektorräume oft ein Skalarprodukt ein, mit dessen Hilfe man dann Längen und Winkel bestimmen kann. Betrachten wir zunächst die exakte Definition des Skalarprodukts nach [13, S. 142]:

Definition 3.14 (Skalarprodukt)   Eine Abbildung $g:V\times V\to\mathbb{R}$ auf einem Vektorraum $V$ heißt Skalarprodukt, wenn folgende Eigenschaften für alle $x,y\in V$ erfüllt sind:

1. $g(x,x)\ge0$, wobei $g(x,x)=0$ genau dann, wenn $x=0$;
2. $g(x,y)=g(y,x)$;
3. $g(\lambda x,y)=\lambda g(x,y)$ für alle $\lambda\in\mathbb{R}$;
4. $g(x,y+z)=g(x,y)+g(x,z)$.

Die Eigenschaften 3 und 4 sind natürlich (zusammen mit Eigenschaft 2) äquivalent zur Linearität des Skalarprodukts in beiden Argumenten. Es liegt also eine lineare Abbildung von zwei Vektoren auf die reellen Zahlen vor. Mit unserer Terminologie können wir also von einem $(0,2)$-Tensor sprechen. Dieser ist zusätzlich symmetrisch (Eigenschaft 2) und erfüllt die Eigenschaft 1.

Etwas Ähnliches wollen wir nun auch für unsere Tangentialräume $T_p(M)$ definieren. Wir werden unsere Abbildung jedoch nicht Skalarprodukt, sondern metrischen Tensor bzw. Metrik nennen, da wir nur eine abgeschwächte Version von Eigenschaft 1 aus Definition 3.14 fordern [23, S. 22]:

Definition 3.15 (Metrik)   Ein symmetrischer $(0,2)$-Tensor $g$ heißt Metrik bzw. metrischer Tensor, wenn $g(v_1,v)$ nur dann für alle $v$ gleich $0$ ist, wenn $v_1=0$.

Wenn wir, wie beim Skalarprodukt üblich, Vektoren $X,Y$ mit $g(X,Y)=0$ als senkrecht zueinander bezeichnen, können wir die Bedingung der Metrik dermaßen formulieren, dass nur der Nullvektor auf allen Vektoren senkrecht steht.

Die Metrik liefert uns ein Mittel, Längen und Winkel zu messen. Diese Größen müssen sich nicht notwendigerweise wie im gewohnten euklidischen Raum verhalten. So kann es durchaus Vektoren mit negativer Länge und Vektoren, die zu sich selbst senkrecht stehen, geben. Diese Tatsachen sind ja schon aus der Geometrie der Speziellen Relativitätstheorie bekannt.

Das Vorzeichen der Länge eines Vektors ist sogar ein wichtiges Kriterium zur Klassifikation von Vektoren. Sei $X$ ein Vektor.

• $X$ heißt $zeitartig$, falls $g(X,X)<0$;
• $X$ heißt $lichtartig$, falls $g(X,X)=0$;
• $X$ heißt $raumartig$, falls $g(X,X)>0$.

Dieses Konzept können wir leicht auf Kurven übertragen: Eine Kurve ist zeit-, licht- bzw. raumartig, wenn die Tangentialvektoren in jedem Punkt der Kurve zeit-, licht- bzw. raumartig sind.

Die Bezeichnungsweise hat folgenden Hintergrund: Materielle Körper bewegen sich immer auf zeitartigen Kurven. Wenn man dabei das Bezugssystem des jeweiligen Körpers als Ruhesystem festlegt, kann man sagen, dass zwei Ereignisse, die der Körper erlebt, nur durch eine gewisse Zeit (daher der Begriff zeitartig) voneinander getrennt sind. Masselose Körper (wie z. B. Photonen) hingegen bewegen sich immer auf lichtartigen Kurven. Kein Körper kann sich je auf einer raumartigen Kurve bewegen, dies würde nämlich bedeuten, dass der Körper Überlichtgeschwindigkeit bekäme. Der Begriff raumartig soll also verdeutlichen, dass in jedem Bezugssystem ein räumlicher Abstand besteht, der nicht durch irgendeine Bewegung eines Körpers überwunden werden kann.

Wenn man die Komponenten eines metrischen Tensors in einem bestimmten Koordinatensystem angeben will, so verwendet man oft die folgende Notation [23, S. 23]:

$$ds^2 = \sum_{\mu,\nu}g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu$$ (24)

Diese Notation kann man auf zwei verschiedene Arten deuten:

1. Das Symbol $ds^2$ bezeichnet den metrischen Tensor. Auf der rechten Seite stehen die Komponenten $g_{\mu\nu}$ dieses Tensors sowie die Basis-1-Formen $dx^\mu$ und $dx^\nu$. Das Produkt zwischen diesen beiden 1-Formen ist als Tensorprodukt zu deuten. Insgesamt entspricht die Notation also der Gleichung (3.16).
2. Das Symbol $ds^2$ bezeichnet den Wert $g(X,X)$ des metrischen Tensors bei Anwendung auf einen Vektor $X$. Die Symbole $dx^\mu$ und $dx^\nu$ bezeichnen dabei die entsprechenden Komponenten des Vektors $X$. Die Schreibweise $dx^\mu$ soll andeuten, dass man die Komponenten des Vektors $X$ aus einer infinitesimalen Verschiebung erhält (siehe Gleichung 3.8). Insgesamt wird durch diese Deutung also der Charakter des metrischen Tensors als Instrument zur Längenmessung deutlich gemacht.

Zu den Komponenten des metrischen Tensors noch eine Bemerkung: Aufgrund Definition 3.15 kann man immer ein lokales Koordinatensystem finden, in dem alle Komponenten des metrischen Tensors außer den Diagonalkomponenten $g_{\alpha\alpha}$ verschwinden [23, S. 23]. Man bezeichnet die entstehende Darstellung des metrischen Tensors auch als Diagonalform. Man kann dann definieren [3, S. 27-28]:

Definition 3.16 (Signatur)   Seien $g_{\alpha\alpha}$ die Komponenten eines metrischen Tensors in Diagonalform. Die Differenz der Anzahl positiven und der negativen Einträge in $g_{\alpha\alpha}$ wird als Signatur der Metrik bezeichnet. Diese Zahl ist bei einem gegebenen Tensorfeld auf der ganzen Mannigfaltigkeit gleich.

Der in der Physik am häufigsten vorkommende Fall ist eine Zeit- und drei Raumkoordinaten, wobei die Zeitkoordinate in der Diagonalform der Metrik ein negatives Vorzeichen, die Raumkoordinaten ein positives Vorzeichen erhalten⁵. Die entstehende Signatur ist also $2$ und wird auch als Lorentz-Signatur bezeichnet.

Zu jedem metrischen Tensor $g_{bc}$ definieren wir mittels

$$g^{ab}g_{bc} = \delta^a{}_c$$ (25)

einen $(2,0)$-Tensor $g^{ab}$ [3, S. 27]. Den metrischen Tensor und diesen neuen inversen metrischen Tensor verwenden wir nun, um folgende Beziehungen zwischen Tensoren herzustellen: Einem $(k,l)$-Tensor $T^{a_1\cdots a_k}{}_{b_1\cdots b_l}$ ordnen wir durch

$$T^{a_1\cdots}{}_{a_i}{}^{\cdots a_k}{}_{b_1\cdots b_l} := g_{a_ic}T^{a_1\cdots c\cdots a_k}{}_{b_1\cdots b_l}$$ (26)

einen $(k-1,l+1)$-Tensor zu, bzw. durch

$$T^{a_1\cdots a_k}{}_{b_1\cdots}{}^{b_i}{}_{\cdots b_l} := g^{b_ic}T^{a_1\cdots a_k}{}_{b_1\cdots c\cdots b_l}$$ (27)

einen $(k+1,l-1)$-Tensor [23, S. 25].

Schon bei der Definition des Tangentialraumes haben wir darauf hingewiesen, dass die Tangentialräume in den einzelnen Punkten der Mannigfaltigkeit zunächst einmal keinen natürlichen Zusammenhang haben. Wir wollen nun einen solchen konstruieren. Dabei beschränken wir uns auf einen lokalen Zusammenhang. Diesen konstruieren wir mit Hilfe einer Ableitung. Wir können dann zumindest Aussagen der Art ,,Ein Tensorfeld ist in der Umgebung eines Punktes konstant.`` treffen. Gleichzeitig beheben wir den Mangel der fehlenden Ableitung für allgemeine Tensorfelder in unserem Formalismus. Denn zur Definition vieler physikalischer Größen und Zusammenhänge benötigt man eine Ableitung.

Wir werden nun zunächst unabhängig von der Metrik eine Ableitung definieren, die so genannte kovariante Ableitung. Später werden wir sehen, wie wir diese Ableitung mit der oben definierten Metrik verknüpfen können.

Es ist zu beachten, dass wir in Form der Vektoren bereits Ableitungsoperatoren für Skalarfelder (,,$(0,0)$-Tensoren``) definiert haben. Unsere Definition der kovarianten Ableitung berücksichtigt dies [23, S. 30-31]:

Definition 3.17 (Kovariante Ableitung)   Eine kovariante Ableitung ist ein Operator $\nabla$, der die differenzierbaren $(k,l)$-Tensorfelder auf differenzierbare $(k,l+1)$-Tensorfelder abbildet und folgende Bedingungen erfüllt:

1. Linearität: Für alle $(k,l)$-Tensorfelder $A$ und $B$ sowie für alle $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ gilt:
   
   $$\nabla(\alpha A + \beta B) = \alpha\nabla A + \beta\nabla B$$
   
   

2. Leibniz'sche Produktregel: Für alle $(k,l)$-Tensorfelder $A$ und alle $(k',l')$-Tensorfelder $B$ gilt:
   
   $$\nabla(AB) = (\nabla A)B + A(\nabla B)$$
   
   

3. Kommutativität mit der Kontraktion: Für alle $(k,l)$-Tensorfelder $A$ gilt in Indexschreibweise, wobei der bei der Ableitung entstehende zusätzliche kovariante Index an den Differentialoperator geschrieben wird:
   
   $$\nabla_d(A^{a_1\cdots c\cdots a_k}{}_{b_1\cdots c\cdots b_l}) = \nabla_dA^{a_1\cdots c\cdots a_k}{}_{b_1\cdots c\cdots b_l}$$
   
   

4. Berücksichtigung der Rolle der Vektoren als Ableitungsoperatoren: Für alle differenzierbaren Skalarfelder $f$ und alle Vektoren $t$ gilt
   
   $$t(f) = t(\nabla f),$$
   
   
   wenn man ein Skalarfeld als $(0,0)$-Tensor betrachtet und auf der rechten Seite den Vektor $t$ als Funktion der 1-Formen in die reellen Zahlen betrachtet.
5. Torsionsfreiheit: Für alle differenzierbaren Skalarfelder $f$ gilt in Indexschreibweise:
   
   $$\nabla_a\nabla_bf = \nabla_b\nabla_af$$
   
   

Die fünfte Bedingung wird nicht immer gefordert. Es gibt Gravitationstheorien, die eine Torsion des Raumes zulassen; in der ART ist dies jedoch nicht der Fall. Da wir uns hier auf die ART beschränken, wurde auch die fünfte Bedingung in unsere Definition mit einbezogen ein.

Als Beispiel für eine kovariante Ableitung betrachten wir zunächst die zu einem Koordinatensystem gehörenden partiellen Ableitungen. Zu jedem Koordinatensystem definieren wir einen Ableitungsoperator $\partial$, so dass zu jedem $(k,l)$-Tensorfeld $T$ durch $\partial T$ dasjenige $(k,l+1)$-Tensorfeld bezeichnet wird, dessen Komponenten $\partial_\sigma T^{\mu_1\cdots\mu_k}{}_{\nu_1\cdots\nu_k}$ in dem gegebenen Koordinatensystem $\partial T^{\mu_1\cdots\mu_k}{}_{\nu_1\cdots\nu_k}/\partial x^\sigma$ sind.

Der Nachteil dieses Ableitungsoperators ist, dass nicht festgelegt werden kann, welches Koordinatensystem zur Bildung der Ableitung verwendet werden soll. Es wäre ein Ableitungsoperator wünschenswert, der eine koordinatenunabhängige geometrische Bedeutung hat.

Hier kommt nun wieder die Metrik ins Spiel. Es lässt sich nämlich zeigen, dass zu jedem metrischen Tensorfeld $g$ genau ein Ableitungsoperator existiert, derart, dass die kovariante Ableitung von $g$ überall verschwindet [23, S. 35-36]:

$$\nabla g = 0$$ (28)

Wenn wir im folgenden von kovarianter Ableitung reden, so werden wir immer genau diesen Operator meinen.

Die kovariante Ableitung kann auch zur Bildung von Richtungsableitungen von Tensorfeldern benutzt werden. Sei $t^c$ ein Vektorfeld, $T^{a_1\cdots a_k}{}_{b_1\cdots b_l}$ ein $(k,l)$-Tensorfeld, dann bezeichnet

$$t^c\nabla_cT^{a_1\cdots a_k}{}_{b_1\cdots b_k}$$ (29)

die kovariante Ableitung von $T$ in Richtung $t$.

Zur praktischen Berechnung der kovarianten Ableitung gibt es folgenden interessanten Zusammenhang, der sich auch auf allgemeine Tensorfelder erweitern lässt [23, S. 33-34]:

$$\nabla_at^b = \partial_at^b + \Gamma^b{}_{ac}t^c$$ (30)

$\Gamma^c{}_{ab}$ sind hierbei die zum Ableitungsoperator $\partial_a$ gehörenden Christoffel-Symbole, die sich nach folgender Formel berechnen lassen [23, S. 36]:

$$\Gamma^c{}_{ab} = \frac{1}{2}g^{cd}(\partial_ag_{bd} + \partial_bg_{ad} - \partial_dg_{ab})$$ (31)

Wenn man berücksichtigt, dass $\partial$ nichts weiter als partielle Ableitungen bezeichnet, so sieht man, dass es mit Hilfe der Formeln 3.25 und 3.26 kein Problem mehr ist, beliebige kovariante Ableitungen in einer Koordinatenbasis auszurechnen.

Für eine detailliertere Behandlung der kovarianten Ableitung, die auch eine Herleitung der oben verwendeten Formeln und Sätze liefert, sei auf [23, S. 30-36] verwiesen.