Geodäten

Nach den teilweise sehr abstrakten Ausführungen des letzten Abschnitts wird es nun wieder ein wenig anschaulicher. Wir wenden uns nun den Geodäten zu. Dies ist die Verallgemeinerung des Konzepts der Geraden auf gekrümmte Räume.

Was charakterisiert eine Gerade? Nun, dem Namen nach muss sie gerade sein, ihre Richtung darf sich also nicht ändern. Die Richtung einer jeden Kurve ein einem beliebigen Punkt der Kurve kann durch einen Tangentialvektor beschrieben werden. Bei einer Geraden müssen also alle Tangentialvektoren in dieselbe Richtung zeigen.

In gekrümmten Räumen ist diese Bedingung nicht ohne weiteres zu überprüfen, da die Tangentialräume zweier Punkte einer Mannigfaltigkeit zunächst nichts miteinander zu tun haben. Über die kovariante Ableitung lässt sich zumindest ein lokaler Zusammenhang zwischen den Tangentialräumen definieren. Eine Geodäte in einem gekrümmten Raum ist damit eine Kurve, deren Tangentialvektor sich entlang dieser Kurve nicht ändert, wobei die Änderung über die kovariante Ableitung berechnet wird [23, S. 41]:

Definition 3.18 (Geodäte)   Sei $k:\mathbb{R}\to M$ eine Kurve in der Mannigfaltigkeit $M$. Seien ferner $T^a$ die Tangentialvektoren an die Kurve $k$. Man nennt $k$ eine Geodäte, falls in jedem Punkt der Kurve die geodätische Gleichung

$$T^a\nabla_a T^b = 0$$ (32)

erfüllt ist.

Die geodätische Gleichung (3.27) lässt sich unter Verwendung der Gleichung (3.25) folgendermaßen umformen:

$$\begin{eqnarray*} T^a\nabla_a T^b &=& 0\\ T^a(\partial_aT^b + \Gamma^b{}_{ac}T^c) &=& 0\\ T^a\partial_aT^b + \Gamma^b{}_{ac}T^aT^c &=& 0 \end{eqnarray*}$$

Berücksichtigen wir nun, dass der erste Summand nichts weiter ist als die Ableitung der Tangentialvektorkomponenten in Richtung der Kurve, also die Differentiation nach dem Kurvenparameter $t$, so können wir schreiben:

$$\frac{dT^\alpha}{dt} + \sum_{\beta,\gamma}\Gamma^\alpha{}_{\beta\gamma} T^\beta T^\gamma = 0$$

Setzen wir nun noch die Koordinatenausdrücke (3.8) für die Tangentialvektoren ein, so erhalten wir die geodätische Gleichung in ihrer gängigen Koordinatenform:

$$\frac{d^2x^\alpha}{dt} + \sum_{\beta,\gamma}\Gamma^\alpha{}_{\beta\gamma} \frac{dx^\beta}{dt}\frac{dx^\gamma}{dt} = 0$$ (33)

Wir wollen unsere Behandlung der Geodäten mit einer Betrachtung von Kurvenlängen abschließen. Wie wir bereits gesehen haben, ist der metrische Tensor eine Verallgemeinerung des Skalarprodukts. Da jedes Skalarprodukt in einem Vektorraum eine Norm induziert, können wir unseren metrischen Tensor auch zur Berechnung von Längen von Vektoren verwenden. Da bei zeitartigen Vektoren die Metrik jedoch negative Werte liefert, müssen wir bei der Berechnung der ,,Länge`` $l$ eines solchen Vektors $X$ ein negatives Vorzeichen unter der Wurzel hinzufügen:

$$l = \sqrt{-g(X,X)}$$ (34)

Berechnen wir nun die Änderungsrate des ``Längenquadrats`` $g_{ab}t^at^b$ des Tangentialvektors $t^c$ einer Geodäte, indem wir die Rechenregeln aus Definition 3.17, die Beziehung zwischen Metrik und kovarianter Ableitung (3.23) sowie die geodätische Gleichung (3.27) benutzen:

$$\begin{eqnarray*} &&t^c\nabla_c(g_{ab}t^at^b)\\ &=&t^ct^at^b\underbrace{\nabla_... ...la_ct^a}_{=0} +g_{ab}t^a\underbrace{t^c\nabla_ct^b}_{=0}\\ &=&0 \end{eqnarray*}$$

Die Länge des Tangentialvektors einer Geodäte ist also konstant. Wenn wir bei einer zeitartigen Geodäte den Kurvenparameter $s$ so wählen, dass $g_{ab}t^at^b=-1$ ist, so nennen wir $s$ die Eigenzeit des sich entlang der zeitartigen Geodäte bewegenden Körpers.

Über die Tangentialvektoren können wir auch zeitartigen Kurven eine Länge zuordnen. Wir müssen nur die Wurzel (3.29) für die Tangentialvektoren entlang der jeweiligen Kurve integrieren. Für die Länge $F$ eines Stückes einer zeitartigen Kurve mit dem Parameter $t$ und den Koordinaten $x^\alpha(t)$ ergibt sich damit

$$F = \int_a^b\sqrt{-\sum_{\alpha,\beta}g_{\alpha\beta} \frac{dx^\alpha(t)}{dt}\frac{dx^\beta(t)}{dt}} dt,$$ (35)

wenn das relevante Kurvenstück von den Parameterwerten $a$ und $b$ begrenzt wird.

Geodäten haben nun die interessante Eigenschaft, das Integral (3.30) zu minimieren bzw. zu maximieren. Damit erben die Geodäten von den Geraden auch die Eigenschaft ,,kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten``, wenn man davon absieht, dass es sich aufgrund des Vorzeichens der ,,Norm`` in manchen Fällen auch um die längste Verbindung handeln kann.

Aus der Extremaleigenschaft in Bezug auf die ,,Länge`` folgt auch eine Lagrange'sche Extremalbedingung für Geodäten. Und zwar erfüllen Geodäten immer die Euler-Lagrange-Gleichung (siehe Anhang B) mit der Lagrange-Funktion

$$L = \sum_{\alpha,\beta}g_{\alpha\beta} \frac{dx^\alpha(t)}{dt}\frac{dx^\beta(t)}{dt}.$$ (36)

Bei gegebener Metrik ergibt sich damit ein einfaches (wenn auch manchmal aufwändiges) Verfahren zu Berechnung von Christoffel-Symbolen: Es werden die Euler-Lagrange-Gleichungen (B.3) mit der Lagrange-Funktion (3.31) aufgestellt. Sie werden so umgeformt und ineinander eingesetzt, dass in jeder resultierenden Gleichung nur noch eine der Ableitungen

$$\frac{d^2x^\alpha(t)}{dt^2}$$

vorkommt. Dann kann man durch einen Koeffizientenvergleich mit (3.28) die Christoffel-Symbole direkt ablesen. Ein solches Vorgehen wurde in Anhang C zur Berechnung der Christoffel-Symbole der Kerr-Metrik angewandt.